本题考查等腰三角形面积的计算，核心是利用三线合一性质构造直角三角形，掌握勾股定理与面积公式的综合应用，为后续学习几何最值、坐标法建模打下基础。
题目展示
已知三角形ABC中，AB=AC=5，BC=6，求三角形ABC的面积。
理解题意
已知条件
- AB = AC = 5（等腰，两腰相等）
- BC = 6（底边长度已知）
求解目标
三角形ABC的面积 
关键突破
等腰三角形底边上的高、中线、角平分线三线合一，作底边BC上的高AD，则D为BC中点，将原三角形分割为两个全等的直角三角形，可直接用勾股定理求高。
解题思路详解
解法一：三线合一 + 勾股定理（基础推理法）
第1步：作底边上的高并确定中点
过顶点A作BC的垂线，垂足为D。由等腰三角形三线合一性质，AD⊥BC且D为BC中点，故
。
突破点：将斜三角形转化为直角三角形，是等腰三角形问题的关键突破口。
第2步：在Rt△ABD中用勾股定理求高AD
在Rt△ABD中，AB为斜边，AB = 5，BD = 3，由勾股定理得：
。
突破点：高AD是面积公式中的关键量，必须准确求出。
第3步：代入三角形面积公式
三角形面积
。
突破点：注意底与高必须对应——此处底为BC，高为BC边上的高AD。
解法二：海伦公式（通用验证法）
第1步：计算半周长
三边为
，
，
，半周长
。
突破点：海伦公式适用于任意三角形，无需依赖特殊性质，适合验证或三边已知时直接使用。
第2步：代入海伦公式
面积
。
突破点：计算中注意因式分解简化：
，
，
。
，，。最终答案
答案
12
出题人思路分析
题目刻意设置整数边长（5,5,6），确保高为整数（4），引导学生发现三线合一的几何结构；同时避免小数运算干扰对核心思想的理解。考点聚焦‘等腰→对称→直角三角形→勾股定理’这一逻辑链，而非单纯套公式。
知识点总结
核心公式与概念
等腰三角形三线合一：底边上的高、中线、顶角平分线重合
勾股定理：在Rt△中，
（c为斜边）
（c为斜边）三角形面积公式：
海伦公式：
，其中
，其中举一反三练习
变式练习1（基础复刻）
等腰三角形DEF中，DE = DF = 13，EF = 10，求△DEF的面积。
提示：作底边EF上的高DG，G为EF中点，先求EG = 5，再在Rt△DEG中用勾股定理求DG。
参考答案：60
变式练习2（逆向思维）
等腰三角形PQR中，PQ = PR，QR = 8，面积为24，求腰长PQ。
提示：设PQ = PR = x，作高PS⊥QR于S，则QS = 4，PS = h；由面积得
；再由Rt△PQS得
。
；再由Rt△PQS得。参考答案：
常见误区提醒
易错点1
错误表现：误将腰长5当作高，直接算
。
错误原因：混淆‘腰’与‘高’的概念，未意识到只有底边上的垂线段才是高。
正确做法：必须通过三线合一或勾股定理严格求出底边上的高，不可主观替代。
易错点2
错误表现：求高时写成
，符号用错。
错误原因：勾股定理记错为‘斜边平方等于两直角边平方和’，但误将斜边当直角边参与加法。
正确做法：明确Rt△ABD中AB是斜边，AD、BD是直角边，应为
，移项得
。
易错点3
错误表现：用海伦公式时半周长算错，如
，误除以3。
错误原因：混淆周长与半周长定义，未掌握‘s = 周长 ÷ 2’的基本含义。
正确做法：半周长是周长的一半，不是三边平均数；务必检查单位与运算逻辑：
。
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