初中数学题详解：等腰三角形面积求解

已知条件

• AB = AC = 5（等腰三角形，两腰相等）
• BC = 6（底边长度已知）

求解目标

三角形ABC的面积

关键突破

利用等腰三角形三线合一性质，作底边BC上的高AD，D为BC中点，将问题转化为直角三角形ABD中用勾股定理求高，避免复杂计算。

第1步：作高并确定中点

∵ AB = AC，∴ △ABC 是等腰三角形，作 AD ⊥ BC 于 D，则 AD 为底边 BC 上的高、中线、角平分线（三线合一），故 。

第2步：在Rt△ABD中求高AD

在Rt△ABD中，AB = 5（斜边），BD = 3（直角边），由勾股定理得：。

第3步：代入底高公式求面积

底 ，高 ，故面积 。

第1步：计算半周长

三边分别为 ，，，则半周长 。

第2步：代入海伦公式

面积 。

突破点：注意括号内数值顺序与边长对应，避免 算错； 与 相乘得144，开方得整数结果。

答案

出题人刻意设置 AB=AC=5、BC=6，使底边中点分割后形成经典的 3-4-5 勾股数组合，既验证三线合一的应用价值，又让海伦公式结果仍为整数，引导学生对比两种方法的适用场景：几何法快而巧，代数法稳而普适。

核心公式与概念

等腰三角形三线合一：顶角平分线、底边中线、底边高线重合

直角三角形勾股定理：若 ，则

三角形面积公式：

海伦公式：，其中

变式练习1（基础复刻）

等腰三角形DEF中，DE = DF = 13，EF = 10，求其面积。

变式练习2（条件迁移）

等腰三角形XYZ中，腰长为10，面积为48，求底边长度。

提示：设底边为 ，则高为 ，列方程 ，解得 或 ，对应底边为12或16。

易错点1

错误表现：误将腰长5当作高，直接算 。

错误原因：混淆‘腰’与‘高’的概念，未意识到腰不垂直于底边。

正确做法：必须通过三线合一或勾股定理求出真正的高（即顶点到底边的垂直距离）。

易错点2

错误表现：海伦公式中半周长算错，如写成 ，漏除以2。

错误原因：机械记忆公式却忽略定义，导致后续 等全部错误。

正确做法：牢记 是半周长，务必先加后除：。

易错点3

错误表现：作高时假设垂足D不在BC上（如延长线上），得出负值或虚数。

错误原因：未判断三角形是否为钝角——本题中 ，且 ，为锐角等腰三角形，高必落在底边上。

正确做法：根据三角形类型预判垂足位置：锐角三角形三高均在内部；或直接用三线合一性质确保D为中点，自然在BC上。