本题考查等腰三角形面积的两种核心求法——底高公式与海伦公式，训练学生从几何结构中提取垂直关系、构建直角三角形的能力，是中考高频基础题。
题目展示
已知三角形ABC中，AB=AC=5，BC=6，求三角形ABC的面积。
理解题意
已知条件
- AB = AC = 5（两腰相等）
- BC = 6（底边长度）
求解目标
三角形ABC的面积 $S$
关键突破
等腰三角形底边上的高也是中线和角平分线，可将原三角形沿高劈成两个全等的直角三角形，从而用勾股定理求出高。
解题思路详解
解法一：底高公式法（利用等腰三角形三线合一）
第1步：作底边BC上的高AD
∵ AB = AC，∴ △ABC为等腰三角形，作AD ⊥ BC于D，则D为BC中点（三线合一），故 
。
突破点：抓住‘等腰→高即中线’这一关键性质，将问题转化为直角三角形求解。
第2步：在Rt△ABD中用勾股定理求高AD
在Rt△ABD中，
，
，则 
。
突破点：直角三角形已知斜边与一条直角边，直接开方得另一条直角边（即高）。
第3步：代入底高公式求面积
底 
，高 
，故面积 
。
突破点：公式应用需明确底与对应高的垂直关系，此处BC与AD严格垂直且D在BC上，满足条件。
解法二：海伦公式法（通用无图解法）
第1步：计算半周长 $s$
三边为 
，
，
，则半周长 
。
突破点：海伦公式适用于任意三角形，无需作辅助线，但需确保三边满足三角形不等式（此处 $5+5>6$，成立）。
第2步：代入海伦公式 $S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$
。
突破点：乘积化简时注意分组：$8\times2=16$，$3\times3=9$，$16\times9=144$，开方得整数结果，验证计算可靠性。
最终答案
答案
12
出题人思路分析
出题人刻意设置整数边长（5,5,6）使高为整数4，引导学生发现三线合一结构；同时三边构成‘双5底6’经典模型，既可练勾股定理，又可验海伦公式，体现一题多解思想，强化公式适用条件辨析能力。
知识点总结
核心公式与概念
等腰三角形三线合一：顶角平分线、底边中线、底边高线重合
三角形面积公式：$S = \frac{1}{2} \times \text{底} \times \text{高}$
海伦公式：$S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$，其中 $s = \frac{a+b+c}{2}$
勾股定理：直角三角形中 $c^2 = a^2 + b^2$
举一反三练习
变式练习1（基础复刻）
等腰三角形DEF中，DE = DF = 13，EF = 10，求其面积。
提示：作底边EF上的高DG，先求EG = 5，再用勾股定理求DG。
参考答案：60
变式练习2（思维延伸）
等腰三角形GHI中，GH = GI = 7，面积为 $14\sqrt{3}$，求底边HI的长度。
提示：设HI = x，则高为 $\sqrt{49 – (x/2)^2}$，列方程 $\frac{1}{2} \cdot x \cdot \sqrt{49 – \frac{x^2}{4}} = 14\sqrt{3}$，两边平方解x。
参考答案：14
常见误区提醒
易错点1
错误表现：误将腰长5当作高，直接算 $\frac{1}{2} \times 6 \times 5 = 15$。
错误原因：混淆‘腰’与‘高’的概念，未意识到腰不垂直于底边。
正确做法：必须通过三线合一或勾股定理求出底边上的高，不可直接代入腰长。
易错点2
错误表现：用海伦公式时半周长算错，如写成 $s = 6 + 5 + 5 = 16$，漏除2。
错误原因：机械记忆公式而忽略定义，未理解‘s’是半周长而非周长。
正确做法：牢记 $s = \frac{a+b+c}{2}$，代入前先加总再除2，或分步计算避免跳步。
易错点3
错误表现：作高后误认为垂足D在BC延长线上，导致BD = 6或3.5等错误取值。
错误原因：忽视等腰三角形中垂足必落于底边中点这一确定性结论，凭主观想象定位。
正确做法：紧扣‘三线合一’性质：等腰三角形底边上的高一定过中点，D必为BC中点，BD = DC = 3。
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