初中数学题详解：求2a+3b的值（精确解）
平方差公式与整体思想 | 精确解法，无近似值
题目展示
若 a² – b² = 21，ab = 50，求 2a + 3b 的值。
解题思路详解
第一步：分解平方差公式
思路分析：利用平方差公式分解 a² – b²。
a² – b² = (a – b)(a + b) = 21
设 s = a + b（两个数的和），d = a – b（两个数的差），则：
s × d = 21 ─── (1)
第二步：用和差公式表示a和b
a = (s + d) / 2
b = (s – d) / 2
第三步：代入ab = 50的条件
ab = [(s + d) / 2] × [(s – d) / 2] = 50
(s² – d²) / 4 = 50
s² – d² = 200 ─── (2)
第四步：联立方程求解
从(1)得 d = 21 / s，代入(2)：
s² – (21 / s)² = 200
s² – 441 / s² = 200
两边同时乘以 s²：
s⁴ – 441 = 200s²
s⁴ – 200s² – 441 = 0
第五步：换元法解四次方程
设 t = s²，方程变为二次方程：
t² – 200t – 441 = 0
用求根公式：
t = [200 ± √(40000 + 1764)] / 2 = [200 ± √41764] / 2
√41764 = √(4 × 10441) = 2√10441
t = [200 ± 2√10441] / 2 = 100 ± √10441
因为 t = s² 不能为负，只取正根：
t = 100 + √10441
s = ±√(100 + √10441)
第六步：求出d、a、b的值
d = 21 / s = ±21 / √(100 + √10441)
对分母进行有理化：
d = ±21√(100 + √10441) / (100 + √10441)
然后计算 a 和 b：
a = (s + d) / 2 = (121 + √10441) / [2√(100 + √10441)]
b = (s – d) / 2 = (79 + √10441) / [2√(100 + √10441)]
第七步：计算2a + 3b的精确值
2a + 3b = 2 × (121 + √10441) / [2√(100 + √10441)] + 3 × (79 + √10441) / [2√(100 + √10441)]
= [242 + 2√10441 + 237 + 3√10441] / [2√(100 + √10441)]
= (479 + 5√10441) / [2√(100 + √10441)]
最终答案：2a + 3b = ±(479 + 5√10441) / [2√(100 + √10441)]
说明：这道题没有有理数解！验证整数解：当a-b=3, a+b=7时，a=5, b=2, 但ab=10≠50；当a-b=1, a+b=21时，a=11, b=10, 但ab=110≠50。因此解只能用无理数形式表示。
知识点总结
1
平方差公式
a² – b² = (a – b)(a + b)，两个平方数相减，等于它们的差乘以它们的和。
2
整体思想（变量替换）
设s = a + b，d = a – b，把二元问题转化为一元问题，简化计算。
3
换元法解高次方程
s⁴ – 200s² – 441 = 0，设t = s²转化为二次方程求解。
4
一元二次方程求根公式
t = [-b ± √(b² – 4ac)] / (2a)，注意判别式的符号。
举一反三练习
练习1：若 a² – b² = 12，ab = 35，求 a + b 的值。
答案：a + b = 7（a=7, b=5时成立）
答案：a + b = 7（a=7, b=5时成立）
练习2：若 a + b = 8，ab = 15，求 a² + b² 的值。
答案：34
答案：34
练习3：若 a – b = 3，ab = 10，求 a² + b² 的值。
答案：29
答案：29
常见误区提醒
易错点1：急于求有理数解，忽略了题目可能没有整数解的情况。
易错点2：换元后忘记检验t = s² ≥ 0的条件，错误地取了负根。
易错点3：有理化分母时计算错误，需要仔细检查每一步的符号和系数。
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