初中数学题详解：相似三角形与面积最值问题（二次函数的应用）

【解题思路详解】
我们来一步一步地想清楚这个问题该怎么解决。因为你是中下水平的同学，所以我会讲得特别细，不跳步，每一步都告诉你‘为什么这么做’。

方法一：利用相似三角形 + 高的比例关系 + 二次函数求最值（推荐给大多数同学）

第一步：
– 思路分析：既然DE∥BC，而且D在AB上，E在AC上，那说明△ADE和△ABC长得像，也就是它们是‘相似三角形’。我们可以用这个性质来找DE的长度和高的关系。
– 详细解答：设AD = x，那么因为AB = 5，所以DB = 5 – x。由于AB = AC，而且DE∥BC，根据‘平行线分线段成比例’，可以知道AE也等于x，EC = 5 – x。也就是说，从A出发到D和E的距离是一样的，这样才对称。

第二步：
– 思路分析：现在我们要找DE的长度。因为△ADE ∽ △ABC（两个角对应相等），所以对应边成比例。我们可以写出比例式。
– 详细解答：因为△ADE ∽ △ABC，所以有：
$
\frac{DE}{BC} = \frac{AD}{AB}

把已知数据代入：BC = 6，AB = 5，AD = x，所以：

\frac{DE}{6} = \frac{x}{5}

解这个方程：两边同时乘以6，得到：

DE = \frac{6x}{5}

所以DE的长度是\frac{6x}{5}。

• 详细解答：在Rt△ABH中，AB = 5，BH = 3，用勾股定理求AH：
  
  AH^2 = AB^2 – BH^2 = 5^2 – 3^2 = 25 – 9 = 16
  
  所以AH = 4。也就是说，△ABC的高是4。

第四步：
– 思路分析：因为△ADE ∽ △ABC，而且相似比是\frac{AD}{AB} = \frac{x}{5}，所以它们的高之比也是\frac{x}{5}。也就是说，从A到DE的高是\frac{x}{5} × 4 = \frac{4x}{5}。
– 详细解答：所以DE这条线离顶点A的距离是\frac{4x}{5}，那么它到底边BC的距离就是总高减去这部分：

h = 4 – \frac{4x}{5} = \frac{20 – 4x}{5} = \frac{4(5 – x)}{5}

这个h其实就是DE到BC之间的垂直距离。而F在BC上，如果我们想让△DEF的面积最大，就应该让F到DE的高尽可能大。但由于DE∥BC，所有从BC上的点向DE作垂线，长度都一样，都是这个h！

第五步：
– 思路分析：现在我们有了底DE和高h，就可以写出△DEF的面积表达式了。
– 详细解答：

S_{\triangle DEF} = 1/2 × DE × h = 1/2 × \frac{6x}{5} × \frac{4(5 – x)}{5}

我们来一步步计算：
先算前面的系数：

1/2 × \frac{6x}{5} × \frac{4(5 – x)}{5} = 1/2 × \frac{6x \cdot 4(5 – x)}{25} = 1/2 × \frac{24x(5 – x)}{25}

再算：

= \frac{24x(5 – x)}{50} = \frac{12x(5 – x)}{25}

所以面积S = 12/25x(5 – x)

第六步：
– 思路分析：我们现在得到了面积S关于x的函数：S = 12/25(5x – x^2)。这是一个关于x的二次函数，开口向下（因为-x²前面是负号），所以它有一个最大值，在顶点处取得。
– 详细解答：对于二次函数 y = ax^2 + bx + c，最大值出现在 x = -\frac{b}{2a}。我们先把S写成标准形式：
$
S = 12/25( -x^2 + 5x )

所以相当于a = -1, b = 5，所以最大值时：

x = -\frac{5}{2 × (-1)} = 5/2 = 2.5

所以当x = 2.5时，面积最大。

第七步：
– 思路分析：现在我们知道AD = x = 2.5，代入之前求出的DE表达式，就能得到DE的长度。
– 详细解答：

DE = \frac{6x}{5} = \frac{6 × 2.5}{5} = 15/5 = 3

所以当面积最大时，DE = 3。

第一步：
– 思路分析：我们也可以不设AD=x，而是设从A到DE的高为h₁，因为总高是4，所以DE到BC的高就是4 – h₁。然后利用相似三角形来找DE的长度。
– 详细解答：因为△ADE ∽ △ABC，相似比是\frac{h_1}{4}，所以：

DE = \frac{h_1}{4} × 6 = \frac{3h_1}{2}

第二步：
– 思路分析：△DEF的高是从F到DE的距离，也就是两平行线之间的距离，即4 – h₁。
– 详细解答：所以面积：

S = 1/2 × DE × (4 – h_1) = 1/2 × \frac{3h_1}{2} × (4 – h_1) = \frac{3h_1}{4}(4 – h_1)

展开：

S = 3/4(4h_1 – h_1^2) = 3h_1 – 3/4h_1^2

这是一个关于h₁的二次函数，开口向下，最大值在h_1 = -\frac{b}{2a} = -\frac{3}{2 × (-3/4)} = \frac{3}{(3/2)} = 2

第三步：
– 思路分析：h₁ = 2，代入DE表达式。
– 详细解答：

DE = \frac{3 × 2}{2} = 3
$
结果一致。

方法三：利用对称性和中位线猜想（启发思维）

第一步：
– 思路分析：观察图形，因为AB=AC，是等腰三角形，又有DE∥BC，说明图形左右对称。如果D、E分别是AB、AC的中点，那么DE就是中位线，长度是BC的一半，即3。这时候高也刚好一半，会不会面积最大？我们可以验证一下。
– 详细解答：当中点时，AD = 2.5，和前面算的一样，x=2.5，确实是我们求出的最大值点。所以这种特殊情况恰好就是最优解。这告诉我们：有时候对称图形中的对称位置往往是最优解。