初中数学题详解：求xy的最大值
立方和公式与基本不等式的巧妙运用 | 适合初中各年级学生
题目展示
若 x³ + y³ = 16，求 xy 的最大值。
解题思路详解
第一步：回忆立方和公式
思路分析：看到 x³ + y³，马上想到立方和公式。
x³ + y³ = (x + y)(x² – xy + y²)
形象理解：把 x³ + y³ 想象成两个立方体的体积之和，一个边长为x的立方体加上一个边长为y的立方体，总体积是16。
第二步：引入整体思想
思路分析：把 x + y 看作一个整体s，把 xy 看作一个整体p。
设 s = x + y（两个数的和）
设 p = xy（两个数的积）← 这正是我们要求的！
第三步：用完全平方公式转换
详细解答：
(x + y)² = x² + 2xy + y²
x² + y² = (x + y)² – 2xy = s² – 2p
代入立方和公式中的 x² – xy + y²：
x² – xy + y² = (x² + y²) – xy = (s² – 2p) – p = s² – 3p
第四步：代入已知条件
题目说 x³ + y³ = 16，代入立方和公式：
x³ + y³ = (x + y)(x² – xy + y²) = s × (s² – 3p) = 16
s³ – 3sp = 16
第五步：用基本不等式求最值
关键知识点：基本不等式（均值不等式）
对于两个正数 a 和 b，有：
(a + b) / 2 ≥ √(ab)
我们把基本不等式应用到 x³ 和 y³ 上：
(x³ + y³) / 2 ≥ √(x³ · y³)
左边是 16 / 2 = 8，右边是 (xy)^(3/2)，所以：
8 ≥ (xy)^(3/2)
两边同时平方：
64 ≥ (xy)³
两边同时开立方：
4 ≥ xy
第六步：验证等号条件
当且仅当 x³ = y³ 时，等号成立，即 x = y。
此时 x = y = 2，因为 2³ + 2³ = 8 + 8 = 16，正好符合题目条件！
所以 xy = 2 × 2 = 4。
最终答案：xy 的最大值是 4
知识点总结
1
立方和公式
x³ + y³ = (x + y)(x² – xy + y²)，是代数变形的重要工具。
2
完全平方公式
(a ± b)² = a² ± 2ab + b²，口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央。
3
基本不等式
(a + b) / 2 ≥ √(ab)，当且仅当 a = b 时取等号。
4
整体思想
设 s = x + y，p = xy，把二元问题转化为一元问题。
举一反三练习
练习１：若 x³ + y³ = 54，求 xy 的最大值。
答案：9（当 x = y = 3 时）
答案：9（当 x = y = 3 时）
练习２：若 x³ + y³ = 128，求 xy 的最大值。
答案：16（当 x = y = 4 时）
答案：16（当 x = y = 4 时）
练习３：若 x + y = 6，求 xy 的最大值。
答案：9（当 x = y = 3 时）
答案：9（当 x = y = 3 时）
常见误区提醒
易错点１：忘记基本不等式的条件是正数，x、y 必须为正数。
易错点２：不验证等号条件，直接得出最值。必须检验 x = y 时是否满足原始条件。
易错点３：混淆立方和公式和完全平方公式，注意 x³ + y³ 和 (x + y)³ 的区别。
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