初中数学题详解：等腰三角形面积求解

已知条件

• AB = AC = 5（等腰三角形两腰相等）
• BC = 6（底边长度）

求解目标

三角形ABC的面积

关键突破

等腰三角形底边上的高也是中线和角平分线，可将原三角形分割为两个全等的直角三角形，利用勾股定理快速求出高。

第1步：作底边BC上的高AD

∵ AB = AC，∴ △ABC为等腰三角形，AD⊥BC且D为BC中点 ⇒ BD = DC = \frac{1}{2} \times 6 = 3

第2步：在Rt△ABD中用勾股定理求高AD

AB = 5，BD = 3 ⇒ AD = \sqrt{AB^2 – BD^2} = \sqrt{5^2 – 3^2} = \sqrt{25 – 9} = \sqrt{16} = 4

第3步：代入三角形面积公式

S = \frac{1}{2} \times \text{底} \times \text{高} = \frac{1}{2} \times BC \times AD = \frac{1}{2} \times 6 \times 4 = 12

第1步：计算半周长s

a = BC = 6，b = AC = 5，c = AB = 5 ⇒ s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{6 + 5 + 5}{2} = \frac{16}{2} = 8

第2步：代入海伦公式

S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{8(8-6)(8-5)(8-5)} = \sqrt{8 \times 2 \times 3 \times 3} = \sqrt{144} = 12

突破点：乘积化简时优先合并平方因子，如 ，，

第3步：确认结果一致性

与解法一结果相同，验证无误 ⇒ S = 12

答案

出题人刻意设置整数边长（5-5-6），确保高为整数（4），引导学生优先使用几何性质而非盲目套公式；同时三边满足三角形不等式（5+5>6, 5+6>5），排除无效构型，聚焦面积计算本质。

核心公式与概念

等腰三角形三线合一：底边上的高、中线、顶角平分线重合

勾股定理：直角三角形中 （c为斜边）

三角形面积公式：

海伦公式：，其中

变式练习1（基础复刻）

等腰三角形DEF中，DE = DF = 13，EF = 10，求其面积。

变式练习2（思维延伸）

等腰三角形GHI中，GH = GI = 7，面积为 ，求底边HI的长度。

提示：设底边为 ，则高为 ，列方程 ，两边平方解二次方程。

易错点1

错误表现：误将腰长5当作高，直接算

错误原因：混淆‘腰’与‘高’的概念，未意识到只有底边上的垂线段才是高

正确做法：必须通过三线合一或勾股定理求出真实高，不可主观替代

易错点2

错误表现：海伦公式中半周长算错，如写成 或

错误原因：忽略半周长定义，漏除2或漏加第三边

正确做法：严格按 计算，建议先加总再除2，并验算 是否成立

易错点3

错误表现：勾股定理列式为

错误原因：未判断直角位置，错误将直角边当斜边相加

正确做法：明确Rt△ABD中AB为斜边，AD、BD为直角边，故