题目分析

已知条件：O是△ABC的外接圆，AB = AC（等腰三角形），D、E分别是BC、AC的中点，DE = EF。要求：(1) 证明四边形ABDF是平行四边形；(2) 证明AF与⊙O相切；(3) 在tan∠BAC = 3/4，BC = 12的条件下，求⊙O的半径。隐含条件：等腰三角形的性质、中点连线性质、平行四边形的判定、切线的判定、三角函数的应用。

方法1：方法一（综合几何法）

1. (1) 证明四边形ABDF是平行四边形：
– 因为D、E分别是BC、AC的中点，所以DE是△ABC的中位线。
– 根据中位线定理，DE ∥ AB，且DE = 1/2 AB。
– 又因为DE = EF，所以DF = 2DE = AB。
– 由于DE ∥ AB，且DF = AB，所以四边形ABDF是平行四边形（一组对边平行且相等）。

中位线定理告诉我们，连接三角形两边中点的线段平行于第三边且等于第三边的一半。利用这个性质，我们可以证明DE ∥ AB且DE = 1/2 AB。再结合DE = EF，可以推出DF = AB。最后，根据平行四边形的判定条件，一组对边平行且相等，即可证明四边形ABDF是平行四边形。

2. (2) 证明AF与⊙O相切：
– 连接AO并延长交BC于点G，因为AB = AC，所以AO是BC的垂直平分线（等腰三角形三线合一）。
– 因为四边形ABDF是平行四边形，所以AF ∥ BD。
– 由于BD ⊥ AG（AO是BC的垂直平分线），所以AF ⊥ AG。
– 又因为AG是⊙O的半径，且AF ⊥ AG，所以AF与⊙O相切（切线判定定理）。

首先，利用等腰三角形的性质，我们知道AO是BC的垂直平分线。然后，由于四边形ABDF是平行四边形，所以AF ∥ BD。结合BD ⊥ AG，我们可以推出AF ⊥ AG。最后，根据切线的判定定理，如果一条直线垂直于圆的半径并且经过半径的外端点，那么这条直线就是圆的切线。

3. (3) 求⊙O的半径：
– 设AO = x，则OG = √(x² – 6²)（利用勾股定理，因为BG = 1/2 BC = 6）。
– 又因为tan∠BAC = 3/4 = OG / AG = OG / (x + √(x² – 6²))（利用三角函数定义）。
– 解这个方程，我们可以得到x = 25/8（负值舍去，因为半径不能为负）。
– 所以，⊙O的半径为25/8。

**另一种解法**：
– 过A作AH⊥BC于H，则H为BC中点，BH=6。
– 在直角三角形ABH中，tan∠BAH = BH / AH = 3/4，所以AH = 8（利用三角函数定义）。
– 设⊙O半径为r，则OH = 8 – r（因为AO = r，AH = 8）。
– 在直角三角形OBH中，利用勾股定理：r² = 6² + (8 – r)²。
– 解这个方程，我们同样可以得到r = 25/8。

在第一种解法中，我们首先设AO为x，然后利用勾股定理表示出OG。接着，我们利用三角函数的定义建立方程，并解出x的值，即⊙O的半径。在第二种解法中，我们通过作辅助线AH，并利用三角函数的定义求出AH的长度。然后，我们设⊙O的半径为r，并利用勾股定理在直角三角形OBH中建立方程，解出r的值。

为什么这么出题？

这道题目综合考查了等腰三角形的性质、中位线定理、平行四边形的判定、切线的判定以及三角函数的应用。出题人通过这道题目，旨在考查学生对这些知识点的掌握和运用能力。同时，这道题目也具有一定的综合性，需要学生将多个知识点结合起来进行解答。易错点在于对中位线定理和平行四边形判定的理解，以及在利用三角函数建立方程时的计算错误。