初中数学题详解：二次函数与x轴交点个数问题
适合初中各年级学生 | 知识点全覆盖 | 掌握代数技巧
题目展示
二次函数 y = x² – 2x + 1 与x轴的交点个数为（）
A. 0个 | B. 1个 | C. 2个 | D. 3个
答案：B. 1个
解题方法一：配方法
第一步：理解配方的目的
思路分析：配方法的目的是将二次函数转化为顶点式，这样可以直观地看出抛物线的顶点坐标，从而判断它与x轴的交点情况。顶点式就像告诉我们抛物线的“山顶”在哪里。
第二步：进行配方
思路分析：观察二次项和一次项，x² – 2x 可以写成 (x – 1)² – 1，这是完全平方公式的逆用。就像把一个不完整的正方形补全。
详细解答：
第三步：求与x轴的交点
思路分析：与x轴的交点就是y=0时的点，所以令y=0，解方程即可。就像找抛物线与地面（x轴）的接触点。
详细解答：
所以抛物线与x轴只有一个交点(1, 0)，即抛物线的顶点在x轴上。
解题方法二：判别式法
第一步：回忆判别式公式
思路分析：对于二次函数 y = ax² + bx + c，判别式Δ = b² – 4ac，它决定了抛物线与x轴的交点个数。判别式就像一个“探测器”，可以提前知道结果。
第二步：确定系数a、b、c
思路分析：在 y = x² – 2x + 1 中，a是x²的系数，b是x的系数，c是常数项。
第三步：计算判别式
思路分析：将a、b、c代入判别式公式进行计算。注意b是-2，所以b²是4，不是负数。
第四步：根据判别式判断交点个数
思路分析：判别式的值决定了交点个数，当Δ=0时，抛物线与x轴有且只有一个交点。
判别式与交点个数的关系
当Δ>0时
抛物线与x轴有两个不同的交点。方程有两个不相等的实数根。就像抛物线穿过地面两次。
当Δ=0时
抛物线与x轴有一个交点（顶点在x轴上）。方程有两个相等的实数根（二重根）。就像抛物线刚好“坐”在地面上。
当Δ<0时
抛物线与x轴没有交点。方程没有实数根。就像抛物线飞在天空中，没有接触地面。
知识点总结
二次函数与x轴交点的意义
当y=0时，求方程ax²+bx+c=0的解。形象理解：就像找抛物线与地面（x轴）的接触点。
配方法
将二次函数写成顶点式 y = a(x-h)² + k 的形式。形象理解：就像把乱乱的积木堆成一个整齐的金字塔，一眼就能看到最高点。
判别式法
Δ = b² – 4ac，判断方程根的个数。形象理解：判别式就像一个探测器，可以提前知道抛物线与x轴有几个交点。
抛物线顶点式
y = a(x-h)² + k，顶点坐标为(h, k)。形象理解：(h, k)就是抛物线的“山顶”或“谷底”的坐标。
举一反三练习
答案：1个
答案：2个
答案：0个
常见误区提醒
拓展思考
如果二次函数 y = x² + bx + 1 与x轴只有一个交点，求b的值。试试看！
提示：令判别式Δ=0，解方程即可。答案：b=±2
请关注我们的公众号，获取更多精彩内容！
发表回复