初中数学题详解：公路转弯圆弧长度问题
适合初中各年级学生 | 知识点全覆盖 | 掌握几何技巧
题目展示
一条公路的转弯处是一段圆弧（即弧CD，点O是弧CD的圆心），其中CD=600米，E为弧CD上一点，且OE垂直CD，垂足为F，OF=300根号3米，则这段弯路的长度为（）
A. 200pi米 | B. 100pi米 | C. 400pi米 | D. 300pi米
答案：A. 200pi米
解题步骤详解
第一步：应用垂径定理
思路分析：OE垂直于CD，根据垂径定理，垂直于弦的直径（或半径）平分弦，所以CF=FD=CD/2。
详细解答：因为OE垂直CD，垂足为F，根据垂径定理，OF是从圆心到弦CD的垂线，所以OF平分弦CD。
CF = FD = CD / 2 = 600 / 2 = 300米
第二步：在直角三角形OCF中求半径
思路分析：OC是圆的半径，OF是圆心到弦的距离，CF是弦长的一半，这三条线段构成直角三角形OCF，可以用勾股定理求解半径OC。
详细解答：在直角三角形OCF中，OC是斜边，OF和CF是两条直角边。
OC² = CF² + OF²
OC² = 300² + (300根号3)²
OC² = 90000 + 270000 = 360000
OC = 根号360000 = 600米
第三步：求圆心角
思路分析：在直角三角形OCF中，已知两条直角边，可以用三角函数求出角COF的度数，进而求出圆心角COD的度数。
详细解答：在直角三角形OCF中，sin角COF = 对边/斜边 = CF/OC。
sin角COF = CF / OC = 300 / 600 = 1/2
角COF = 30°
角COD = 2 * 角COF = 60°
第四步：应用弧长公式计算弯路长度
思路分析：已知圆心角和半径，可以用弧长公式计算弧CD的长度。弧长公式：弧长 = (圆心角度数/360°) * 圆的周长。
详细解答：圆的周长 = 2 * pi * r = 2 * pi * 600 = 1200pi米。
弧CD的长度 = (60°/360°) * 2 * pi * 600
弧CD的长度 = (1/6) * 1200pi = 200pi米
知识点总结
1
垂径定理
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
2
勾股定理
在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。
3
特殊角三角函数值
sin30°=1/2，sin60°=根号3/2，cos30°=根号3/2等。
4
弧长公式
弧长 = (圆心角度数/360°) * 圆的周长 = (n/360) * 2pi*r。
举一反三练习
练习1：弦长CD=800米，圆心到弦的距离OF=300米，求弧长。
答案：(1000/3)pi米
答案：(1000/3)pi米
练习2：半径10米，弦长10米，求劣弧长度。
答案：(10/3)pi米
答案：(10/3)pi米
练习3：半径6米，圆心角120度，求圆心到弦的距离。
答案：3米
答案：3米
常见误区提醒
易错点1：忘记应用垂径定理，CF=CD/2，不要直接用CD=600米计算。
易错点2：(300根号3)的平方=300² * 3=270000，不要计算错误。
易错点3：sin30°=1/2，不是根号3/2，注意区分特殊角的三角函数值。
请关注我们的公众号，获取更多精彩内容！
发表回复