平行四边形遇上圆？一题串起垂径定理与坐标法

建立平面直角坐标系。以E为原点(0,0)，AD在x轴上，因BE⊥AD且过E，故BE在y轴上；则A(-6,0)，D(6,0)，E(0,0)；又OE=8，O在y轴上，且E为垂足，故O坐标为(0,8)或(0,-8)。因BE经过O且B在BE上，而平行四边形ABCD中，向量AB = 向量DC，向量AD = 向量BC，需保证几何合理性。观察：若O在E上方，则O(0,8)，半径OA = √[(-6)² + 8²] = √(36+64)=10，符合；若O在下方，O(0,-8)，OA也=10，但此时B在BE（y轴）上，BE=OC，而C位置由平行四边形决定，需验证哪种情形使C存在且OC=BE。先取O(0,8)（标准配置，常见于此类题）。

设B(0,b)，因B、O、E共线且E(0,0)，O(0,8)，故B在y轴上，坐标为(0,b)。则BE = |b − 0| = |b|；又BE = OC，故OC = |b|。

由ABCD为平行四边形，A(-6,0)，D(6,0)，设C(x,y)，则向量AD = (12,0)，故向量BC = AD = (12,0)，即C = B + (12,0) = (0+12, b+0) = (12,b)；或用向量AB = DC：AB = (0−(−6), b−0) = (6,b)，则DC = C − D = (x−6, y−0) = (6,b) ⇒ x=12, y=b，同得C(12,b)。

OC = 距离O(0,8)到C(12,b) = √[(12−0)² + (b−8)²] = √[144 + (b−8)²]；又OC = BE = |b|，故 √[144 + (b−8)²] = |b|。两边平方：144 + (b−8)² = b² ⇒ 144 + b² −16b +64 = b² ⇒ 208 −16b = 0 ⇒ b = 13。故B(0,13)，BE = 13，O(0,8)，故OB = |13−8| = 5。

求BG。已知F是OC与圆的交点（除O外？不，OC是从O出发的射线，交圆于两点：近端为O？但O是圆心，不在圆上！注意：OC是线段从O到C，延长后交圆于F，因O是圆心，故OC所在直线与圆有两个交点，其中靠近O的是“内交点”？不对——圆心O在圆内，任何过O的直线与圆交于两点，关于O对称。故OC所在直线交圆于两点，设为F₁、F₂，其中F是OC与圆的交点，即从O出发沿OC方向第一个交点？题目说“连接OC交⊙O于点F”，因O在圆内，C在圆外（验证：OC=13 > r=10），故线段OC延长后交圆于一点F（在O与C之间），即F在线段OC上，满足OF = r = 10。故OF = 10，OC = 13 ⇒ FC = 3，且F分OC为OF:FC = 10:3。

求F坐标。O(0,8)，C(12,13)，向量OC = (12,5)，模长√(144+25)=√169=13，单位向量 = (12/13, 5/13)，故F = O + 10(12/13, 5/13) = (120/13, 8 + 50/13) = (120/13, (104+50)/13) = (120/13, 154/13)。

B(0,13)，F(120/13, 154/13)，求直线BF方程，再求其与圆x²+(y−8)²=100的另一交点G（除F外）。
先化简：B(0,13)=(0,169/13)，F(120/13,154/13)，向量BF = (120/13, -15/13) = (120,-15)/13，方向向量(8,-1)（约去15）。故直线BF参数方程：x = 0 + 8t, y = 13 − t。代入圆方程：x² + (y−8)² = 100 ⇒ (8t)² + (13−t−8)² = 100 ⇒ 64t² + (5−t)² = 100 ⇒ 64t² + 25 −10t + t² = 100 ⇒ 65t² −10t −75 = 0 ⇒ 13t² −2t −15 = 0。解得t = [2±√(4+780)]/26 = [2±√784]/26 = [2±28]/26 ⇒ t₁ = 30/26 = 15/13, t₂ = −26/26 = −1。当t=−1时，x=−8, y=14，对应点？验证是否在圆上：(−8)²+(14−8)²=64+36=100，是！此即G点（因F对应t=15/13：x=815/13=120/13, y=13−15/13=154/13，吻合）。故G(−8,14)。

BG距离 = √[(−8−0)² + (14−13)²] = √(64+1) = √65。

由前知，⊙O半径r=10，OE=8，AE=6，故OA=OD=10。

BE过O且⊥AD，故E为AD中点，O在BE上，设OB=x，则BE=BO+OE（若B、O、E顺序为B-O-E）或BE=|BO−OE|（若O在B、E之间）。由坐标法知B在O上方，E在O下方，故顺序为B-O-E，BE=BO+OE ⇒ BE=OB+8。又BE=OC，故OC=OB+8。

在△OEC中，E(0,0), O(0,8), C由平行四边形确定。由ABCD平行四边形，AD∥BC且AD=BC=12，又AD水平，故BC水平；B在y轴，故C横坐标为12，即C(12,y_C)。OC² = 12² + (y_C−8)²，又OC = OB+8，OB = |y_B−8|，而B(0,y_B)，E(0,0)，故BE=|y_B|，且BE=OC ⇒ |y_B| = OC。又由平行四边形，向量AB = 向量DC：A(-6,0), B(0,y_B) ⇒ AB=(6,y_B)，D(6,0), C(x_C,y_C) ⇒ DC=(x_C−6,y_C)，故x_C=12, y_C=y_B，即C(12,y_B)，同前。故OC² = 144 + (y_B−8)²，且OC = |y_B|，解得y_B=13，OB=5。

求BG，利用圆幂定理。对点B，作割线BFG交圆于F、G，则BF·BG = 幂(B) = BO² − r²（因B在圆外，幂=BT²，T为切点，亦=BO²−r²）。BO=5, r=10 ⇒ 幂(B)=25−100=−75？不对，幂应为正数表示圆外，负数表示圆内。B(0,13), O(0,8), r=10，BO=5 < r，故B在圆内！验证：B到O距离5，半径10，故B在圆内。此时过B的任意直线与圆交于两点X、Y，则BX·BY = |幂(B)| = r² − BO² = 100 − 25 = 75（定值）。此处直线为BFG，交圆于F、G，故BF·BG = 75。

需先求BF。由前，OC=13，OF=10（F在OC上且OF=r），故CF=3。在△OBC中，O(0,8), B(0,13), C(12,13)，故OB=5, BC=12, OC=13，为直角三角形（5-12-13），∠B=90°。F在OC上，OF:FC=10:3。用定比分点求BF长度：坐标已得F(120/13,154/13), B(0,13)，BF² = (120/13)² + (154/13 − 169/13)² = (14400 + 225)/169 = 14625/169 = 1125/13？计算：154−169=−15，(−15/13)²=225/169，(120/13)²=14400/169，和=14625/169。14625÷25=585, 169÷13=13，但直接保留。BF = √(14625/169) = √14625 / 13。√14625 = √(25585) = 5√585 = 5√(965) = 15√65，故BF = 15√65 / 13。

由BF·BG = 75 ⇒ BG = 75 / BF = 7513 / (15√65) = (75/15)13 / √65 = 513 / √65 = 65 / √65 = √65。结果一致。

画图。先画水平线段AD，长12，中点为E；过E作竖直线BE（即y轴），向上取O点，使OE=8；以O为圆心，OA为半径作圆，因AE=6，OE=8，故半径OA=10，圆过A、D。

因ABCD为平行四边形，AD为底边，故BC∥AD且BC=AD=12；B在BE（y轴）上，设B在O上方某处；由向量关系，从B向右平移12单位得C，故C在过B的水平线上，横坐标比B大12。

连接OC，因OC=BE，且BE是B到E的距离，E在AD上，O在BE上，故BE=BO+OE。OC是从O到C的斜边，在Rt△OEC中（E为直角？不，OE⊥AD，但EC不一定⊥OE）。实际由坐标知△OBC为直角三角形：OB竖直，BC水平，故∠B=90°，OC为斜边，长13，符合5-12-13勾股数。

F是OC与圆的交点，因O为圆心，OC长13>半径10，故F在O、C之间，且OF=10（半径），FC=3。在图中，F将OC分为10:3两段。

连接FB并延长交圆于G。观察图形：B在圆内（BO=5<10），故FB延长线必与圆交于另一点G。由圆内点引弦，利用相似或坐标可得G位置。特别地，由对称性或计算可知G在第二象限，坐标(−8,14)，满足OG=10（验证：(−8)²+(14−8)²=64+36=100）。

测量或计算OB：O(0,8), B(0,13)，竖直距离为5。BG：B(0,13)到G(−8,14)，横向差8，纵向差1，故BG=√(8²+1²)=√65。图中可直观看出BG为直角三角形斜边，直角边8和1。