平行四边形遇上圆？这道几何题用坐标法秒解！

建立直角坐标系。以E为原点(0,0)，AD在x轴上，则A(-6,0)，D(6,0)（因AD=12，E为中点）。

BE⊥AD且过E，故BE在y轴上；O在BE上，OE=8，设O在E上方，则O(0,8)（也可设下方，由对称性结果一致，取上方）。

⊙O半径r = OA = √[(-6−0)² + (0−8)²] = √(36+64) = √100 = 10。故圆方程：x² + (y−8)² = 100。

B在y轴上，设B(0,b)，则BE = |b − 0| = |b|（因E在原点），又BE过O(0,8)，故B、O、E共线于y轴，O在B与E之间或之外。OE=8，E(0,0)，O(0,8)，故若B在O上方，则BE = b，OB = b−8；若B在E下方，则B(0,b), b<0，BE = |b|，OB = |b−8|。但题设BE=OC，而OC≥0，故BE>0，暂设B在y轴正半轴，即B(0,b), b>0。

由BE = |b| = b（因b>0），且BE = OC，故OC = b。又C是平行四边形ABCD的第四个顶点。已知A(-6,0), D(6,0)，设B(0,b)，因ABCD是平行四边形，向量AB = 向量DC，或向量AD = 向量BC。AD = (12,0)，故BC = (12,0)，B(0,b) ⇒ C = B + (12,0) = (12,b)。（注：平行四边形顶点顺序为A-B-C-D，故AB∥DC，AD∥BC，AD从A到D为(12,0)，故BC也应为(12,0)，即C = B + (12,0)）

计算OC：O(0,8)，C(12,b)，故OC² = (12−0)² + (b−8)² = 144 + (b−8)²。又OC = BE = b，故OC² = b²。得方程：144 + (b−8)² = b²。展开：144 + b² −16b +64 = b² ⇒ 208 −16b = 0 ⇒ b = 13。

故B(0,13)，O(0,8)，E(0,0)，则OB = |13−8| = 5。

求BG。先求F：OC连线从O(0,8)到C(12,13)，参数方程：x=12t, y=8+5t (t∈[0,1]对应O→C)。OC与圆交于两点：O在圆内（因OA=10，O到A距离为10，O是圆心！等等——严重错误！O是圆心，故OA=OD=r，但O到自身距离为0，O必在圆内？不，O是圆心，圆上点满足到O距离为r，故O是圆心，不在圆上。OC是从圆心O出发的射线，交圆于离O距离为r的点，即F是OC方向上距O为r=10的点。故OF = 10，方向同OC。向量OC = (12,5)（因C(12,13), O(0,8) ⇒ Δx=12, Δy=5），模长|OC| = √(12²+5²) = √169 = 13，恰为b=13，符合BE=OC=13。故单位向量沿OC为(12/13, 5/13)，故F坐标 = O + 10(12/13, 5/13) = (120/13, 8 + 50/13) = (120/13, (104+50)/13) = (120/13, 154/13)。

求直线FB：F(120/13, 154/13)，B(0,13) = (0,169/13)。斜率k = (169/13 − 154/13)/(0 − 120/13) = (15/13)/(−120/13) = −15/120 = −1/8。故FB方程：y − 13 = (−1/8)(x − 0) ⇒ y = −x/8 + 13。

求FB与圆的另一交点G（除F外）。圆方程：x² + (y−8)² = 100。代入y = −x/8 + 13：
x² + (−x/8 + 13 − 8)² = 100 ⇒ x² + (−x/8 + 5)² = 100
⇒ x² + (x²/64 − 2·x/8·5 + 25) = 100 ⇒ x² + x²/64 − (10x)/8 + 25 = 100
⇒ (64x² + x²)/64 − (5x)/4 + 25 = 100 ⇒ 65x²/64 − 5x/4 = 75
两边乘64：65x² − 80x = 4800 ⇒ 65x² − 80x − 4800 = 0
除以5：13x² − 16x − 960 = 0
解：判别式Δ = (−16)² + 4·13·960 = 256 + 49920 = 50176 = 224²（因224²=50176）
x = [16 ± 224]/(26) ⇒ x₁ = (240)/26 = 120/13（对应F），x₂ = (−208)/26 = −8
故G横坐标x=−8，代入y=−(−8)/8 +13 = 1 +13 =14，即G(−8,14)

B(0,13)，G(−8,14)，故BG = √[(−8−0)² + (14−13)²] = √(64 + 1) = √65
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由BE⊥AD且过圆心O，E为AD中点 ⇒ AE=ED=6，OE=8 ⇒ 半径OA=√(AE²+OE²)=√(36+64)=10。

设OB=x，则BE=BO+OE=x+8（因B、O、E共线，O在B、E之间？由坐标法知B在O上方，E在O下方，故B-O-E顺序，BE=BO+OE=x+8）。但题设BE=OC，故OC=x+8。

在平行四边形ABCD中，AD∥BC且AD=BC=12；又AB∥DC。考虑△OBC：已知OC=x+8，OB=x，BC=12，但缺角信息。换思路：用向量或坐标更直接，此法较繁，转用圆幂定理。

注意FBG是圆的割线，F、G在圆上，B在圆外（因OB=5<10? 不，OB=5，半径10，故B在圆内？矛盾！坐标法得B(0,13), O(0,8), r=10，OB=5<10，故B在圆内。但FB延长交圆于G，说明B在圆内，F在圆上，直线FB与圆交于F和G两点，B在线段FG内部。故可用相交弦定理：对点B，有BF·BG = BA·BD？不，相交弦定理要求两弦交于圆内一点。此处B是圆内点，FBG是过B的弦，但只有一条弦？需另一条过B的弦。观察：BA和BD？A、D在圆上，B在圆内，故弦AD过B？不一定。由坐标知A(-6,0), D(6,0), B(0,13)，不共线。但BD是否为弦？D在圆上，B在圆内，故BD是圆内线段。更好的选择：考虑弦AD和弦FG交于B？但AD在x轴，FG是FB延长线，由坐标知FG过B(0,13)和G(-8,14)，斜率-1/8，不与AD（x轴）交于B。故不适用。

改用坐标法结论，此法作为验证：OB=5，BG=√65。
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画图——先作水平线段AD，长12，标中点E；过E作竖直线BE；在BE上取点O使OE=8（向上）；以O为圆心，OA为半径作圆（OA=√(6²+8²)=10），则A、D在圆上。

因ABCD是平行四边形，AD∥BC且AD=BC=12，故从B作水平线段BC=12得C点。由图可知，B在BE上（y轴），C在B右侧12单位处，故C横坐标比B大12。

连接OC，其长度等于BE（题设）。BE是从B到E的距离，即B到x轴距离（因E在原点），故BE即B点纵坐标值。OC是从O(0,8)到C(x_c,y_c)的距离，而C的纵坐标等于B的纵坐标（因BC水平），设B(0,b)，则C(12,b)，OC²=12²+(b−8)²，令其等于b²，解得b=13，故OB=|13−8|=5。

OC连线从O出发，与圆交于F（近端？不，O是圆心，OC射线与圆交于离O距离10的点F，即OF=10，方向同OC）。在图中，OC向右上方延伸，F在O与C之间（因OC=13>10）。

连接F与B，并向右下方延长（由坐标知斜率为负），再次交圆于G。观察图形：△OBF与△OBG无直接相似，但可看∠FOG为圆心角，而∠FBG为圆周角，但F、B、G不共圆弧。实际计算得G在第二象限（−8,14），B在y轴正半轴(0,13)，故BG为左上方向线段。利用圆的对称性或距离公式即可得BG=√65。