平行四边形遇上圆：一道经典几何综合题

建立平面直角坐标系。以E为原点(0,0)，AD在x轴上，则A(-6,0)，D(6,0)（因AD=12，E为中点）；BE⊥AD且过E，故BE在y轴上；又OE=8，O在BE上，设O在y轴正半轴，则O(0,8)（或负半轴？但BE方向未限定，取O(0,8)合理，后续验证）；则圆O半径r=OA=√[(-6−0)²+(0−8)²]=√(36+64)=√100=10，符合。

确定B点坐标。BE是y轴，B在BE上，设B(0,b)，则BE=|b−0|=|b|（因E为原点）；又BE=OC，需先表达C。由ABCD是平行四边形，向量AB=向量DC，向量AD=向量BC。已知A(-6,0)，D(6,0)，故向量AD=(12,0)。设B(0,b)，则C=D+向量AB=D+(B−A)=(6,0)+[(0,b)−(−6,0)]=(6,0)+(6,b)=(12,b)。

计算OC长度。O(0,8)，C(12,b)，则OC²=(12−0)²+(b−8)²=144+(b−8)²；BE=|b|，题设BE=OC ⇒ |b|=√[144+(b−8)²]。两边平方：b²=144+(b−8)²=144+b²−16b+64 ⇒ 0=208−16b ⇒ b=13。故B(0,13)，BE=13，O(0,8)，则OB=|13−8|=5。

求BG。先求F：OC是从O(0,8)到C(12,13)的射线，参数方程：x=12t, y=8+5t (t≥0，当t=0为O，t=1为C)；圆O方程：x²+(y−8)²=100；代入得(12t)²+(5t)²=100 ⇒ 144t²+25t²=169t²=100 ⇒ t=10/13（取正值，F在O与C之间，t∈(0,1)）。故F(120/13, 8+50/13)= (120/13, 154/13)。

求直线FB：F(120/13,154/13)，B(0,13)=(0,169/13)，斜率k=(169/13−154/13)/(0−120/13)= (15/13)/(−120/13)=−15/120=−1/8；直线方程：y−13=(−1/8)(x−0) ⇒ y=−x/8+13。

求G：FB延长线与圆O交于另一点G（B已在圆外，F在圆上，B不在圆上，故FB与圆有两个交点：F和G）。联立圆x²+(y−8)²=100与y=−x/8+13：代入得x²+(−x/8+5)²=100 ⇒ x²+(x²/64−10x/8+25)=100 ⇒ x²+x²/64−(10x)/8+25−100=0 ⇒ (65/64)x²−(5x)/4−75=0。两边乘64：65x²−80x−4800=0。解得x=[80±√(6400+4654800)]/(265)=[80±√(6400+1248000)]/130=[80±√1254400]/130。注意1254400=1120²（因1120²=1254400），故x=(80±1120)/130 ⇒ x₁=1200/130=120/13（对应F），x₂=−1040/130=−8。故G横坐标x=−8，代入y=−(−8)/8+13=1+13=14，即G(−8,14)。

求BG：B(0,13)，G(−8,14)，BG²=(−8−0)²+(14−13)²=64+1=65 ⇒ BG=√65。

由OE=8，AE=6，得OA=OD=10（半径），故⊙O半径r=10。

BE过O且⊥AD，E为AD中点，故BE是AD的垂直平分线，也是直径所在直线。设OB=x，则BE=BO+OE=x+8（若B、O、E共线且O在B、E之间）或|BO−OE|（若O在BE延长线上）。由前解法知B在O上方，E在O下方（E为垂足，O到AD距离8，故E在AD上，O在AD上方8单位，B在O上方5单位），故BE=BO+OE=x+8。题设BE=OC，故OC=x+8。

在△OBC中，需关联OC与已知。利用平行四边形性质：AB∥CD，AD∥BC，且AD=BC=12。又O为圆心，OA=OD=10，考虑△OAB与△ODC等。更优路径：以O为原点重设坐标系简化。令O(0,0)，AD水平，E在y轴负半轴（因OE=8且⊥AD），则E(0,−8)，AD过E且水平，故AD：y=−8，A、D在圆x²+y²=100上且y=−8 ⇒ x²+64=100 ⇒ x=±6，故A(−6,−8)，D(6,−8)，AD=12，符合。

B在y轴上（BE过O且⊥AD，AD水平，故BE竖直），设B(0,b)，则BE=|b−(−8)|=|b+8|（E为(0,−8)）。又BE=OC，C由平行四边形确定：向量AB=B−A=(0−(−6),b−(−8))=(6,b+8)，故C=D+AB=(6,−8)+(6,b+8)=(12,b)。则OC=√(12²+b²)=√(144+b²)。由BE=OC ⇒ |b+8|=√(144+b²)。平方：b²+16b+64=144+b² ⇒ 16b=80 ⇒ b=5。故B(0,5)，OB=|5|=5；BE=|5+8|=13，OC=√(144+25)=√169=13，符合。

求BG。F为OC与圆交点（除O外），OC从O(0,0)到C(12,5)，方向向量(12,5)，单位向量沿此方向长为r=10的点即F：F=(12k,5k)，满足(12k)²+(5k)²=100 ⇒ 169k²=100 ⇒ k=10/13，故F(120/13,50/13)。

直线FB：B(0,5)，F(120/13,50/13)，斜率=(50/13−5)/(120/13−0)=(50/13−65/13)/(120/13)= (−15/13)/(120/13)=−15/120=−1/8。方程：y−5=(−1/8)(x−0) ⇒ y=−x/8+5。

与圆x²+y²=100联立：x²+(−x/8+5)²=100 ⇒ x²+x²/64−10x/8+25=100 ⇒ (65/64)x²−(5x)/4−75=0，同前得x=120/13（F）或x=−8（G）。代入y=−(−8)/8+5=1+5=6，故G(−8,6)。BG²=(−8−0)²+(6−5)²=64+1=65 ⇒ BG=√65。

画图——先作水平线段AD=12，标中点E；过E作竖直线BE（因BE⊥AD）；在BE上取点O使OE=8（O在AD上方）；以O为圆心、OA为半径作圆，因AE=6，OE=8，由勾股得OA=10，故圆半径为10；标出A、D在圆上。

由ABCD为平行四边形，AD∥BC且AD=BC=12，AB∥CD；B在BE（y轴）上，设B在O上方某处；因向量AB=向量DC，且D已知，可确定C在D右上方；关键观察：OC=BE，而BE是O到B的距离加OE（若B、O、E共线且顺序为B-O-E或E-O-B），图中E在AD上，O在AD上方，B应在O上方（否则OC难等于BE），故B-O-E共线，BE=BO+OE。

连接OC，交圆于F（F在O与C之间）；连接FB，延长交圆于G。此时图中出现弦FG，且B在圆外，由圆幂定理：BG·BF = BA·BD？不适用；应为B对圆的幂：BG·BF = |BO²−r²|（因B在圆外，幂=切线长²=BO²−r²）。已知BO=5，r=10，故幂=25−100=−75，绝对值为75，即BG·BF=75。

计算BF：在△OBF中，OF=r=10，OB=5，∠BOF为OC与OB夹角，但F在OC上，故O、F、C共线，∠BOF即∠BOC。由坐标法已知B(0,5)，O(0,0)，C(12,5)，故OC向量(12,5)，OB向量(0,5)，cos∠BOC=(OB·OC)/(|OB||OC|)=(012+55)/(513)=25/65=5/13，故OF=10，OB=5，在△OBF中，由余弦定理：BF²=OB²+OF²−2·OB·OF·cos∠BOF=25+100−2510(5/13)=125−500/13=(1625−500)/13=1125/13。但更简单：由前得F(120/13,50/13)，B(0,5)=(0,65/13)，BF²=(120/13)²+(50/13−65/13)²=(14400+225)/169=14625/169=1125/13（同），故BF=√(1125/13)= (15√5)/√13，复杂。转用幂定理：BG·BF=75，若求BG，需BF。但图中可观察△BFG与△BOA相似？注意∠BFG=∠BAG（同弧BG所对圆周角），但A已知。更直接：由图可见G与A关于y轴对称？A(−6,−8)，G(−8,6)，不成立。但计算已得G(−8,6)，B(0,5)，直观验证BG斜率为(6−5)/(−8−0)=−1/8，与FB斜率一致，且G在圆上：(−8)²+6²=64+36=100，符合。故图中G是圆上第二交点，位置确定。