平行四边形遇上圆？一道经典几何题拆解

建立直角坐标系。以E为原点(0,0)，AD在x轴上，则A(-6,0)，D(6,0)（因AD=12，E为中点）；BE⊥AD且过E，故BE在y轴上；设O在y轴上，坐标为(0,8)或(0,-8)。由OE=8且E为垂足，O在BE上，取O(0,8)（上方，不影响结果，对称性下可统一处理）；则圆O半径r = OA = √[(-6−0)² + (0−8)²] = √(36 + 64) = √100 = 10。

确定B点坐标。BE是y轴，B在BE上，设B(0,b)，则BE = |b − 0| = |b|（因E为(0,0)）；又BE = OC，需先得C坐标。由ABCD为平行四边形，向量AB = 向量DC，向量AD = 向量BC。已知A(-6,0)，D(6,0)，设B(0,b)，则向量AB = (0−(−6), b−0) = (6,b)；故C = D + AB = (6,0) + (6,b) = (12,b)。

计算OC长度。O(0,8)，C(12,b)，则OC² = (12−0)² + (b−8)² = 144 + (b−8)²；又BE = |b|，且BE = OC ⇒ |b| = √[144 + (b−8)²]。两边平方：b² = 144 + b² − 16b + 64 ⇒ 0 = 208 − 16b ⇒ b = 13。故B(0,13)，BE = 13，O(0,8)，所以OB = |13−8| = 5。

求BG。先求F：OC连线从O(0,8)到C(12,13)，参数方程：x = 12t, y = 8 + 5t（t∈[0,1]对应O→C）；圆方程：x² + (y−8)² = 100（圆心(0,8)，r=10）；代入得(12t)² + (5t)² = 100 ⇒ 144t² + 25t² = 169t² = 100 ⇒ t = 10/13（取正，因F为OC与圆第二交点，t>0，O对应t=0，F对应t=10/13）；故F(120/13, 8 + 50/13) = (120/13, 154/13)。

求直线FB：F(120/13, 154/13)，B(0,13) = (0,169/13)，斜率k = (169/13 − 154/13)/(0 − 120/13) = (15/13)/(−120/13) = −15/120 = −1/8；直线方程：y − 13 = (−1/8)(x − 0) ⇒ y = −x/8 + 13。

求G：联立圆x² + (y−8)² = 100与y = −x/8 + 13。代入：x² + (−x/8 + 5)² = 100 ⇒ x² + (x²/64 − 10x/8 + 25) = 100 ⇒ x² + x²/64 − (10x)/8 + 25 = 100 ⇒ (65x²)/64 − (5x)/4 − 75 = 0。乘64：65x² − 80x − 4800 = 0。解得x = [80 ± √(6400 + 4654800)]/(265) = [80 ± √(6400 + 1248000)]/130 = [80 ± √1254400]/130。√1254400 = √(12544100) = 11210 = 1120（因112² = 12544）。故x = [80 ± 1120]/130 ⇒ x₁ = 1200/130 = 120/13（即F点横坐标），x₂ = −1040/130 = −8。对应y = −(−8)/8 + 13 = 1 + 13 = 14。故G(−8,14)。

求BG距离：B(0,13)，G(−8,14)，BG² = (−8−0)² + (14−13)² = 64 + 1 = 65 ⇒ BG = √65。

由垂径定理，E为AD中点，AE = ED = 6；OE = 8，OA = OD = r，在Rt△OEA中，r = √(6² + 8²) = 10。

设OB = x，则B在过O垂直AD的直线上，E为原点，O在BE上，OE = 8，故若设EB方向为正，则O距E为8，B距E为BE，设BE = m，则OB = |m − 8|（若B、O在E同侧，则OB = |m−8|；若异侧，则OB = m+8。由图形及后续验证取同侧，即B在O上方，故OB = m−8）。又BE = OC = m。

在平行四边形ABCD中，AD = BC = 12，且AD∥BC。作OH⊥BC于H，则四边形OEBH为矩形？不成立。改用向量：由ABCD平行四边形，向量OC = 向量OA + 向量AC = 向量OA + 向量AB + 向量BC。但更优：以O为起点，设向量OA = **a**, OD = **d**, 则|**a**| = |**d**| = 10，且**a** + **d** = 2**OE**？不，E为AD中点 ⇒ **OE** = (**OA** + **OD**)/2 = (**a** + **d**)/2，而|**OE**| = 8，故|**a** + **d**| = 16。又|**a** − **d**| = AD = 12。由|**a** + **d**|² + |**a** − **d**|² = 2(|**a**|² + |**d**|²) ⇒ 256 + 144 = 2(100 + 100) = 400，成立。

设B点满足BE⊥AD且过O，故B在OE所在直线上。令OB = x，则BE = BO + OE = x + 8（若B、O、E共线且O在B、E之间，则BE = BO + OE；但题中“BE经过圆心O”，未限定顺序；由OE=8，且E为垂足，通常O在BE线段上，B与E在O两侧或同侧。由解法一得B(0,13), O(0,8), E(0,0)，故顺序为B-O-E，BE = 13, OE = 8, OB = 5，即BE = BO + OE ⇒ 13 = 5 + 8，故B-O-E共线，O在B、E之间。因此BE = BO + OE ⇒ m = x + 8。又BE = OC = m，故OC = x + 8。

在△OBC中，BC = AD = 12，OC = x + 8，OB = x，∠OBC未知。但由平行四边形，AB∥CD，AD∥BC，且AD⊥BE ⇒ BC⊥BE（因AD∥BC），故BC⊥BE，即BC⊥BO（因B、O、E共线），故∠OBC = 90°。因此△OBC为直角三角形，直角在B，故OC² = OB² + BC² ⇒ (x + 8)² = x² + 12² ⇒ x² + 16x + 64 = x² + 144 ⇒ 16x = 80 ⇒ x = 5。故OB = 5。

求BG。注意到F为OC与圆交点（除O外），故OF = r = 10，OC = 13，故FC = OC − OF = 3。在△FBC中，FB为公共边。考虑圆幂定理：对点B，其对⊙O的幂为BA·BD？不，B在圆外（OB = 5 < r = 10？错！OB = 5，r = 10，故B在圆内？矛盾！B(0,13), O(0,8), r = 10，OB = 5 < 10，故B在圆内。但题中FB延长交圆于G，说明B在圆内，F在圆上，G为另一交点，故BF·BG = 幂 = r² − OB² = 100 − 25 = 75。又F在OC上，OF = 10，OC = 13，故BF需先求。在△OBF中，OB = 5，OF = 10，∠BOF = ∠BOC（同角），而OC = 13，由余弦定理：cos∠BOC = (OB² + OC² − BC²)/(2·OB·OC) = (25 + 169 − 144)/(2·5·13) = 50/130 = 5/13。故BF² = OB² + OF² − 2·OB·OF·cos∠BOF = 25 + 100 − 2·5·10·(5/13) = 125 − 500/13 = (1625 − 500)/13 = 1125/13。但更优：由圆幂定理，对点B，过B任作割线交圆于X、Y，则BX·BY = |r² − OB²| = 75。此处割线为FBG，F、G为交点，故BF·BG = 75。需求BF。由坐标法已得F(120/13, 154/13), B(0,13)，BF² = (120/13)² + (154/13 − 169/13)² = (14400 + 225)/169 = 14625/169 = 1125/13 ⇒ BF = √(1125/13) = (15√5)/√13。则BG = 75 / BF = 75 / [(15√5)/√13] = 5√13 / √5 = √(2513/5) = √65。故BG = √65。

画图——先作水平线段AD，长12，标中点E；过E作竖直线BE；在BE上取点O使OE = 8（向上或向下，取向上）；以O为圆心，OA为半径作圆，因AE = 6，OE = 8，故半径OA = √(6² + 8²) = 10，圆过A、D。

在BE上取点B，使O在B、E之间（由题“BE经过O”，且E为垂足，合理布局为B-O-E），设OB = x，则BE = x + 8。由BE = OC，需定位C。因ABCD为平行四边形，AD∥BC且AD = BC = 12，又AD⊥BE ⇒ BC⊥BE，故从B作水平线（因AD水平，BC∥AD）向右12单位得C点。此时OC为O到C的连线，其长度应等于BE = x + 8。

观察△OBC：∠OBC = 90°（因BC⊥BE，而B、O、E共线），OB = x，BC = 12，OC = x + 8，构成直角三角形，直接勾股得(x + 8)² = x² + 144 ⇒ x = 5。故OB = 5，B距O为5，O距E为8 ⇒ B距E为13。

标出OC连线，交圆于F（近O端为O，远端为F），因半径10，OC = 13，故OF = 10，FC = 3。连接FB，延长交圆于G。此时B在圆内（OB = 5 < 10），FB为弦内线段，延长后出圆得G。由圆的对称性及B位置，BG为割线长。利用圆内点B的幂：从B引任意两条弦，乘积相等；此处取直径？无直径。取过B的弦AD？但B不在AD上。最直接是使用割线FBG，则BF·BG = 幂 = r² − OB² = 100 − 25 = 75。

为求BF，观察△OBF：已知OB = 5，OF = 10，∠BOF即∠BOC，而△OBC中已知三边（OB=5, BC=12, OC=13），为5-12-13直角三角形，故∠BOC = ∠B，cos∠BOC = OB/OC = 5/13（邻边/斜边）。故在△OBF中，BF² = OB² + OF² − 2·OB·OF·cos∠BOF = 25 + 100 − 2·5·10·(5/13) = 125 − 500/13 = 1125/13，BF = √(1125/13)。则BG = 75 / BF = √65。图中可见G在左上方，与A同侧，坐标为(−8,14)，符合几何直观。