初中数学题详解：整体思想求代数式的值
完全平方公式与平方差公式的巧妙运用 | 适合初中各年级学生
题目展示
已知 (x + 5)² = 59，求 (x + 2)(x + 8) 的值。
解题思路详解
方法一：展开法（基础方法）
第一步：展开已知条件
根据完全平方公式展开 (x + 5)²：
(x + 5)² = x² + 10x + 25 = 59
形象理解：完全平方公式口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央。
第二步：移项求出 x² + 10x 的值
x² + 10x = 59 – 25 = 34
关键点：不需要求出 x 的具体值！把 x² + 10x 看作一个整体。
第三步：展开要求的表达式
(x + 2)(x + 8) = x² + 8x + 2x + 16 = x² + 10x + 16
第四步：代入计算
(x + 2)(x + 8) = 34 + 16 = 50
方法二：整体换元法（巧算方法）
第一步：观察数字规律
仔细观察：
x + 2 = (x + 5) – 3
x + 8 = (x + 5) + 3
x + 2 和 x + 8 都可以用 x + 5 来表示！
第二步：设新变量
设 y = x + 5，则 y² = 59，且：
x + 2 = y – 3
x + 8 = y + 3
第三步：运用平方差公式
(x + 2)(x + 8) = (y – 3)(y + 3) = y² – 9
第四步：代入计算
(x + 2)(x + 8) = 59 – 9 = 50
答案验证
由 (x + 5)² = 59，得 x = -5 ± √59
当 x = -5 + √59 时：
(x + 2)(x + 8) = (-3 + √59)(3 + √59) = 59 – 9 = 50 ✔
当 x = -5 – √59 时：
(x + 2)(x + 8) = (-3 – √59)(3 – √59) = 59 – 9 = 50 ✔
两种情况都得到相同的答案，验证正确！
最终答案：(x + 2)(x + 8) = 50
知识点总结
1
完全平方公式
(a ± b)² = a² ± 2ab + b²，是代数变形的重要工具。
2
平方差公式
(a – b)(a + b) = a² – b²，两个数的差乘以它们的和等于它们的平方差。
3
整体思想
将重复出现的表达式看作一个整体，用新变量代替，简化计算。
4
多项式乘法
(x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab
举一反三练习
练习1：已知 (x + 3)² = 20，求 (x + 1)(x + 5) 的值。
答案：12
答案：12
练习2：已知 (x – 4)² = 10，求 (x – 2)(x – 6) 的值。
答案：2
答案：2
练习3：已知 (x + 1)² = 15，求 x² + 2x + 3 的值。
答案：17
答案：17
常见误区提醒
易错点1：急于求x的具体值，忽略整体关系，导致计算复杂化。
易错点2：展开多项式时漏项或符号错误，需仔细检查每一步。
易错点3：忘记完全平方公式中的中间项2ab，只写了首平方和尾平方。
请关注我们的公众号，获取更多精彩内容！
发表回复