本题以正六边形为背景，结合圆弧与对角线构造阴影区域。笔记全程口语化、零跳步讲解，拆解3种解法（含坐标法），专为中下水平学生设计，覆盖辅助线、面积拆分、角度计算、扇形公式等核心技能。
📝 题目展示
2. (2025·四川资阳·中考真题) 如图，在正六边形ABCDEF中，AB=2，连接AC，AE，以点D为圆心、CD的长为半径作圆弧CE，则图中阴影部分的面积是______.
🎯 理解题意
📋 已知条件
① 图形是正六边形ABCDEF——就是6条边一样长、6个角一样大（每个内角120°）、所有顶点都在一个圆上；
② 边长AB = 2，所以每条边都是2；
③ 连了两条线：AC（从A到C，隔一个点）和AE（从A到E，也隔一个点，但方向不同）；
④ 以D为圆心、CD为半径画了一段圆弧CE——就是从点C出发，绕着D点，画到点E的一段弯弯的线，这段线和它围出来的那块‘月牙’或‘花瓣’形状就是阴影部分。
🎯 求解目标
算出这个阴影部分的面积是多少（单位是平方单位，不用写单位）。
💡 关键提示
• 阴影不是整个扇形，而是扇形CE减去中间被盖住的三角形或四边形；
• 正六边形可以切成6个全等的正三角形；
• CD是正六边形的一条对角线，长度不等于边长，要算出来。
💡 解题思路详解
解法一：图像辅助法（适合空间感强但计算易错的同学）
第1步：(求阴影面积)的
思路分析——我们在平面直角坐标系里把正六边形‘摆正’：让中心在原点O(0,0)，一个顶点在x轴正方向。但题目给的是顶点D为圆心，所以不如把D放在原点更方便！我们平移图形，让点D在坐标原点(0,0)。因为CD = 2，且正六边形内角120°，我们可以设：点C在x轴上，C(2,0)（因为CD=2，D在原点，C在正x轴）；那么由于∠CDE = 120°，且DE = 2，点E就从D出发，转120°（逆时针，按常规顺序），所以E的坐标 = (2×cos120°, 2×sin120°) = (2×(−1/2), 2×(√3/2)) = (−1, √3)。现在我们有：D(0,0), C(2,0), E(−1,√3)。接下来找点A：在正六边形ABCDEF中，顺序是A-B-C-D-E-F-A，所以从C到D到E已知，往前推B，再推A。向量DC = C−D = (2,0)，向量DE = (−1,√3)。在正六边形中，从D出发，前一个顶点是C，后一个是E，那么边CD和DE夹角120°，符合。顶点A的位置：从E到F到A到B到C，共5步回到C。但更简单：正六边形可看作由6个边长为2的正三角形组成，中心为O。但这里D是顶点，非中心。我们换回标准放置：设正六边形中心O在(0,0)，顶点按逆时针排列：A(2,0), B(1,√3), C(−1,√3), D(−2,0), E(−1,−√3), F(1,−√3)。验证边长AB：A(2,0)到B(1,√3)距离 = √[(2−1)²+(0−√3)²] = √[1+3] = √4 = 2，正确。此时D(−2,0)，C(−1,√3)，E(−1,−√3)。那么CD = √[(−2+1)²+(0−√3)²] = √[1+3] = 2，DE = √[(−2+1)²+(0+√3)²] = √[1+3] = 2，∠CDE：向量DC = C−D = (1,√3)，向量DE = E−D = (1,−√3)，点积 = 1×1 + √3×(−√3) = 1−3 = −2，模长均为2，所以cosθ = (−2)/(2×2) = −0.5 → θ = 120°，正确。此时C(−1,√3)，E(−1,−√3)，所以CE是竖直线x=−1，从y=√3到y=−√3，长2√3。而弧CE是以D(−2,0)为圆心、半径2画的，方程：(x+2)² + y² = 4。C、E代入：(−1+2)² + (√3)² = 1+3 = 4，满足；同理E也满足。所以弧CE是该圆上从C到E的较短一段（圆心角120°<180°，是劣弧）。现在求阴影：即AC、AE、弧CE围成区域。先算A(2,0)，C(−1,√3)，E(−1,−√3)。AC距离 = √[(2+1)²+(0−√3)²] = √[9+3] = √12 = 2√3；AE同理 = 2√3；CE = 2√3，所以△ACE是边长为2√3的等边三角形。其面积 = (√3/4) × (2√3)² = (√3/4) × 12 = 3√3。而弓形CE面积仍为扇形CDE − △CDE = 4π/3 − √3（计算同解法一）。注意：此处坐标只是验证，不改变面积计算逻辑。所以详细解答同解法一：阴影面积 = 4π/3 − √3。
✅ 最终答案
🔍 出题人思路分析
📌 考点与出题意图
考点与出题意图：本题表面考扇形面积，实则综合考查正六边形性质（内角、边长关系、对称性）、三角函数基础（sin120°）、扇形与三角形面积公式，以及最重要的——图形识别能力。出题人故意不标中心、不标角度，用‘连接AC，AE’制造干扰，让学生误以为要算△ACE相关，实则阴影只与C、D、E三点有关，是典型的‘迷惑性构图’陷阱，考验学生能否抓住‘以D为圆心、CD为半径作弧CE’这一核心动作。
🎯 考察的核心能力
准确提取几何要素的能力（看到‘以D为圆心、CD为半径’立刻锁定△CDE）
牢记特殊多边形角度与边长比例（正六边形内角120°、边长=外接圆半径）
公式条件匹配意识（扇形面积必须同时确认圆心角和半径，缺一不可）
💪 别怕读不懂图，只要记住‘弧是谁画的、圆心在哪、半径是哪段’，你就已经拿下一半分数了！
📚 知识点总结
正六边形就像蜂巢的单个格子，6条边一样长，6个角一样大（都是
概念说明：正六边形就像蜂巢的单个格子，6条边一样长，6个角一样大（都是120°），还能被从中心连到6个顶点，切成6个全等的正三角形。
你吃过的六边形饼干，如果每条边都一样长、每个角看起来都‘胖胖的’（比直角大），那就是正六边形；切开它，就像把披萨平均切成6块尖角形，每一块都是正三角形。
概念说明：扇形就是圆的一部分，像披萨的一片，由两条半径和一段圆弧围成。
你用圆规画个圆，然后用尺子从圆心连到圆上两点，这两条线加中间的弯边，就是一片‘披萨’——它的大小取决于两条线张开的角度（圆心角）和圆规张开的宽度（半径）。
概念说明：弓形是扇形减去三角形后剩下的‘弯月’部分，一边是直的（弦），一边是弯的（弧）。
咬掉一口圆形饼干，留下的缺口就是弓形——直边是你咬的口（弦），弯边是饼干原来的边（弧）。
🧮 举一反三练习
练习1：在正六边形ABCDEF中，AB=3，以点A为圆心、AB长为半径作弧BF（即从B到F的弧），求弧BF与线段BF围成的弓形面积。答案：3π − (9√3)/4
答案：
练习2：如图，在正六边形ABCDEF中，AB=4，连接AD（最长对角线），以A为圆心、AD为半径作弧BD，求该弧与线段BD围成的弓形面积。答案：(16π)/3 − 8√3
答案：
⚠️ 常见误区提醒
❌ 以为CD是对角线而算错长度——正六边形中，相邻顶点间距离才是边长，C和D是邻居，所以CD=AB=2，不是2√3或4！
❌ 圆心角搞成60°或180°——正六边形每个内角是120°，不是外角；∠CDE是顶点D处的内角，就是120°，不是中心角。
❌ 扇形面积公式记混——写成 (θ/180)×πr²（漏了除以2）或者 (θ/360)×2πr（这是弧长！），一定要记牢：扇形面积 = (圆心角/360°) × π × 半径²
发表回复