【排版测试】圆的切线与三角函数综合题（21:18）

第1步：(1)的

思路分析——我们想证明 AH 是切线，就得先连半径 OA，然后看看能不能证明 OA 和 AH 垂直。因为 A 在圆上，只要 OA⊥AH，就能说明 AH 是切线。

连接 OA。因为 AB 是直径，所以 O 是 AB 的中点。又因为弧 AC = 弧 BD，所以它们所对的圆心角也相等，即 ∠AOC = ∠BOD。由于 AB 是直径，整个圆被分成两半，我们可以考虑对称性。注意到 C 和 D 的位置是由弧长相等决定的，如果把图形绕圆心旋转，让弧 AC 转到弧 BD 的位置，那么点 C 就会转到点 D 的位置。但更直接的方法是利用圆周角和圆心角的关系。我们现在还不知道怎么直接得到 OA 和 AH 的关系，换个角度：如果我们能证明 ∠OAH = 90°，那就完成了。继续往下走。

第2步：(2)的

该问题详解见解法二对该问的详解。

同解法二，在坐标系中，A(-r, 0)，H 在 AH 上，且 AH = 2。因为 AH 是竖直线 x = -r，方向向上或向下。由于 H 在 DC 的延长线上，而 D(-x,y), C(x,y)，所以 CD 是

第3步：(1)的思路分析——该问题详解见解法三对该问的详解

该问题详解见解法二对该问的详解。

同解法二，见上文解法三第1步，通过建立坐标系，利用对称性得出 CD 水平，AH 竖直，从而与圆仅有一个交点，证明其为切线。

第1步：(1)的

图：图像辅助法示意图

思路分析——画出坐标系，设定圆心在原点，利用对称性和向量关系判断垂直，从而证明切线。

我们将圆放在平面直角坐标系中。设圆心 O 在原点 (0,0)，AB 是直径，令 A(-r, 0)，B(r, 0)，其中 r 是半径。因为弧 AC = 弧 BD，说明从 A 到 C 的弧长等于从 B 到 D 的弧长，意味着点 C 和点 D 关于 y 轴对称。假设点 C 的坐标是 (x, y)，则点 D 的坐标就是 (-x, y)，因为从 A(-r,0) 出发逆时针走一段弧到 C(x,y)，从 B(r,0) 出发顺时针走相同弧长到 D(-x,y)，这样才能保证弧长相等。于是 CD 连线是从 C(x,y) 到 D(-x,y)，这是一条水平线段，因为纵坐标相同，所以 CD 平行于 x 轴。因此 CD 是水平的，它的斜率为 0。那么 AH ⊥ CD，说明 AH 是竖直的，即垂直于水平线，所以 AH 是一条竖直线。而点 A 的横坐标是 -r，所以 AH 是过 A(-r, 0) 的竖直线，方程是 x = -r。这条线是否与圆相切？圆的方程是 x² + y² = r²。将 x = -r 代入，得 (-r)² + y² = r² ⇒ r² + y² = r² ⇒ y² = 0 ⇒ y = 0。所以只有唯一交点 (-r, 0)，即点 A。因此 AH 与圆只有一个公共点，且过 A 点，所以它是切线。这就证明了第（1）问。

第2步：(2)的

思路分析——根据坐标系中的点位置，计算角 ∠CAH 的三角函数值，结合已知 sin∠CAH = √5/5 和 AH = 2，解出 r。

在坐标系中，A(-r, 0)，H 在 AH 上，且 AH = 2。因为 AH 是竖直线 x = -r，方向向上或向下。由于 H 在 DC 的延长线上，而 D(-x,y), C(x,y)，所以 CD 是从左到右的水平线（若 x > 0），延长线向右延伸。AH 是从 A 向上或向下作的垂线。为了与 CD 的延长线相交，必须向上或向下足够远。但 AH ⊥ CD，CD 水平，所以 AH 竖直。设 H 的坐标是 (-r, h)。因为 AH = 2，A 是 (-r, 0)，所以 |h – 0| = 2 ⇒ h = 2 或 h = -2。不妨设 H 在上方，则 H(-r, 2)。现在求 ∠CAH。这个角是在点 A 处，由点 C、A、H 构成的角。向量 AC = C – A = (x – (-r), y – 0) = (x + r, y)，向量 AH = H – A = (-r – (-r), 2 – 0) = (0, 2)。角 ∠CAH 是这两个向量之间的夹角。cos∠CAH = (AC · AH) / (|AC| |AH|)。点积 AC·AH = (x + r)*0 + y*2 = 2y。|AH| = 2，|AC| = √[(x + r)² + y²]。所以 cos∠CAH = 2y / [2 * √((x + r)² + y²)] = y / √((x + r)² + y²)。但我们知道 sin∠CAH = √5 / 5。注意：sin²θ + cos²θ = 1，所以 cos²∠CAH = 1 – (√5/5)² = 1 – 5/25 = 1 – 1/5 = 4/5，所以 cos∠CAH = ±2/√5。由于点 C 在圆上，y > 0（假设在上半圆），且 x + r > 0，所以分母正，分子 y > 0，所以 cos 应该为正，取 2/√5。于是有：

两边平方：

但点 C(x, y) 在圆上，满足 x² + y² = r²。代入 y = 2(x + r)：

这是一个关于 x 的二次方程。解这个方程：

如果 x = -r，则 C 与 A 重合，不合理。所以 x = -3r/5

所以成立。现在我们不需要再验证什么了。但我们已经得到了所有信息。问题是求半径 r。但我们还没有用到 AH = 2？实际上我们用了，因为我们设 H(-r, 2)，所以 AH = 2 已经用了。但是 sin∠CAH 给的是 √5/5，我们也用了。现在我们来看看是否一致。

所以我们的模型正确。但此时我们并没有解出 r 的具体值，因为 AH = 2 是给定的，而我们在坐标系中设 H(-r, 2)，所以 AH 的长度是 |2 – 0| = 2，已经满足，与 r 无关。这说明 r 可以任意？不可能。问题出在哪？

Ah！我们忘了：点 H 是 AH 与 DC 延长线的交点。我们设了 H(-r, 2)，但必须确保这个点确实在 DC 的延长线上。

DC 是从 D(-x, y) 到 C(x, y)。我们已有 x = -3r/5，所以 -x = 3r/5，y = 4r/5

所以 D(3r/5, 4r/5)，C(-3r/5, 4r/5)？不对！之前我们说 C(x,y)，x = -3r/5，所以 C(-3r/5, 4r/5)，D 应该是 (-x, y) = (3r/5, 4r/5)

所以 DC 是从 D(3r/5, 4r/5) 到 C(-3r/5, 4r/5)，这是一条从右到左的水平线，y = 4r/5，x 从 3r/5 到 -3r/5。

延长线向左延伸，即 x < -3r/5，y = 4r/5

所以交点 H 是 x = -r，y = 4r/5（因为在 DC 延长线上，y 必须等于 4r/5）

但我们之前设 H(-r, 2)，是因为 AH = 2，所以 H 的 y 坐标是 2（相对于 A(-r,0)）

这才对！

第3步：(1)的思路分析——该问题详解见解法三对该问的详解

见上文解法三第1步，通过建立坐标系，利用对称性得出 CD 水平，AH 竖直，从而与圆仅有一个交点，证明其为切线。