平行四边形遇上圆？坐标法巧解双空填空题

建立坐标系。以E为原点(0,0)，AD在x轴上，则A(-6,0)，D(6,0)；BE⊥AD且过E，故BE在y轴上；OE = 8，O在BE上，设O(0,8)或O(0,-8)；因A、D在圆上，OA = OD = r，计算：若O(0,8)，则OA² = (-6)² + 8² = 36 + 64 = 100 ⇒ r = 10，符合；若O(0,-8)，OA² = (-6)² + (-8)² = 100，同样成立。但BE经过O且垂足为E，通常取O在AD上方，即O(0,8)；则BE为y轴，E(0,0)，O(0,8)，B在y轴上，设B(0,b)；则BE = |b − 0| = |b|，OE = |8 − 0| = 8，已知OE = 8，符合；又BE = OC，需确定C坐标。

利用平行四边形ABCD确定C。已知A(-6,0)，D(6,0)，设B(0,b)，则向量AB = B − A = (0−(−6), b−0) = (6,b)；在平行四边形ABCD中，AB = DC，故C = D + AB = (6,0) + (6,b) = (12,b)；或用AD = BC：AD = (12,0)，故C = B + AD = (0,b) + (12,0) = (12,b)，一致。

计算OC。O(0,8)，C(12,b)，则OC² = (12−0)² + (b−8)² = 144 + (b−8)²；BE = |b|，已知BE = OC ⇒ |b| = √[144 + (b−8)²]；两边平方：b² = 144 + (b−8)² = 144 + b² −16b + 64 = b² −16b + 208；消去b²得：0 = −16b + 208 ⇒ b = 13；故B(0,13)，BE = 13，O(0,8)，则OB = |13−8| = 5；

求BG。先求⊙O方程：圆心O(0,8)，半径10，方程为x² + (y−8)² = 100；C(12,13)，OC所在直线：过O(0,8)与C(12,13)，斜率k = (13−8)/(12−0) = 5/12，方程y−8 = (5/12)x；与圆交于A? D? 不，OC交⊙O于F（除O外另一点），但O是圆心，不在圆上！严重错误：O是圆心，OC是从圆心出发的射线，与圆交于唯一一点——即从O出发沿OC方向距离r=10处的点F；故OF = 10，方向同OC；向量OC = (12,5)（因C(12,13)，O(0,8)，Δx=12, Δy=5），模长|OC| = √(12²+5²) = √(144+25) = √169 = 13，与BE=13一致；单位向量沿OC为(12/13, 5/13)，故F = O + 10(12/13, 5/13) = (120/13, 8 + 50/13) = (120/13, (104+50)/13) = (120/13, 154/13)；

求FB直线。F(120/13, 154/13)，B(0,13) = (0,169/13)，向量FB = B−F = (−120/13, (169−154)/13) = (−120/13, 15/13)；参数方程：x = 120/13 − (120/13)t, y = 154/13 + (15/13)t，t=0时在F，t=1时x=0, y=169/13=13 ⇒ B；延长交圆于G，即再求该直线与圆的另一交点（除F外）；将参数式代入圆方程x² + (y−8)² = 100；但更优：因F、B、G共线，且F、G在圆上，B在外，可用幂定理或联立；设直线FB：两点式，斜率m = (13 − 154/13)/(0 − 120/13) = ((169−154)/13) / (−120/13) = 15/13(−13/120) = −15/120 = −1/8；故FB斜率为−1/8，过B(0,13)，方程y = −(1/8)x + 13；与圆x² + (y−8)² = 100联立：x² + (−x/8 + 5)² = 100（因y−8 = −x/8 + 5）；展开：x² + (x²/64 − (2·x/8·5) + 25) = x² + x²/64 − (10x)/8 + 25 = (65x²)/64 − (5x)/4 + 25 = 100；乘64：65x² − 80x + 1600 = 6400 ⇒ 65x² − 80x − 4800 = 0；除5：13x² − 16x − 960 = 0；解：判别式d = 256 + 4·13·960 = 256 + 49920 = 50176 = 224²（因224² = (200+24)² = 40000+9600+576=50176）；x = [16 ± 224]/(26)；x₁ = 240/26 = 120/13（对应F），x₂ = −208/26 = −8；故G横坐标x = −8，代入y = −(1/8)(−8) + 13 = 1 + 13 = 14；G(−8,14)；B(0,13)，故BG = √[(−8−0)² + (14−13)²] = √(64 + 1) = √65；

由AD=12，E为中点，OE=8，得OA=OD=10（勾股定理），即⊙O半径r=10；

BE过O且⊥AD，设B、O、E共线，OE=8，令OB=x，则BE=BO+OE=x+8（若O在B、E之间）或BE=|BO−OE|；但由坐标法知B在E上方、O在E上方8单位，B在O上方5单位，故BE=13，OB=5，即O在B、E之间？不，E(0,0), O(0,8), B(0,13)，故顺序为E-O-B，OE=8，OB=5，BE=13；

ABCD为平行四边形，AD∥BC，AD=BC=12；又AD⊥BE，故BC⊥BE，即BC⊥y轴，BC水平；B(0,13)，故C纵坐标为13，又BC=12，且由A(-6,0), D(6,0)，向量AD=(12,0)，故C=B+AD=(12,13)，同前；

OC=13，OF=10（F在OC上且在圆上），故CF=OC−OF=3；

考虑△OFB与△GFB或圆幂定理：对点B，圆幂 = BG·BF = BA·BD？不，B在圆外，割线BFG，故BG·BF = 幂 = BO² − r² = 5² − 10² = 25 − 100 = −75？幂应为正，公式为|BO² − r²|，但标准圆幂定理：若B在圆外，过B任作割线交圆于X,Y，则BX·BY = |BO² − r²|；此处割线为B-F-G，F、G为交点，故BF·BG = BO² − r² = 25 − 100 = −75？负值说明B在圆内？但BO=5 < r=10，故B在圆内！矛盾？验证：B(0,13)，O(0,8)，距离5，r=10，5<10，B在圆内；但题目说“连接FB并延长交⊙O于点G”，若B在圆内，FB延长线交圆于两点：一为F，另一为G，故F、G为直线与圆的两交点，B在F、G之间；故BF·BG不是标准割线，而是弦上一点，应用相交弦定理：若两弦FG和...但此处只有一条弦FG，B在其上；正确公式：若B在圆内，过B的弦FG，则BF·BG = r² − BO² = 100 − 25 = 75；

需先求BF；F在OC上，OF=10，OC=13，故OF/OC = 10/13，故F分OC为10:3；坐标已得F(120/13,154/13)，B(0,13)，计算BF² = (120/13)² + (154/13 − 169/13)² = (14400 + 225)/169 = 14625/169；14625 = 125117 = 25585，但√14625 = √(25585) = 5√585，非简；数值：14625/169 约 50分之4327，BF约10分之93；但由圆幂，BF·BG = 75，若BF已知，可求BG；但需精确值；由坐标法已得BG=√65，验证：BF² = (120/13)² + (−15/13)² = (14400 + 225)/169 = 14625/169；BF = √14625 / 13 = (√(25585))/13 = (5√585)/13；585 = 965，故√585 = 3√65，BF = 53√65 / 13 = 15√65 / 13；则BF·BG = (15√65 / 13)BG = 75 ⇒ BG = 7513 / (15√65) = (513) / √65 = 65 / √65 = √65；一致；

画图——先作线段AD=12，取中点E；过E作垂线l（即BE所在直线）；在l上取点O使OE=8（上方）；以O为圆心、OA为半径作圆，因OA=√(6²+8²)=10，故圆半径10；标出A、D在圆上；

在l上O上方取点B，使BE=OC；由平行四边形ABCD，从A到B作向量，从D平移相同向量得C；因AD水平，BE垂直，故AB不水平，但BC∥AD，故BC水平；故从B作水平线，截取BC=AD=12，得C；此时OC可测；调整B位置使OC=BE；几何上，当B在E上方13单位时，C在D右12单位、同高，即C(12,13)，O(0,8)，OC=13，BE=13；

连接OC，与圆交于F（近O端？不，O是圆心，OC射线从O出发，首交圆于F，OF=10，故F在O、C之间，OF:FC=10:3）；

连接FB，延长交圆于G；观察图形：因B在圆内（OB=5<10），FB为弦的一部分，延长后再次交圆于G，故FG为圆的一条弦，B在其内部；

关键几何关系：∠AFD为直径所对角？不，AD非直径（AD=12<20）；注意△OEA为直角三角形，OE=8，AE=6，OA=10；又ABCD为平行四边形，故AC与BD互相平分；但本题未用；核心是坐标系中已明确各点，图像中可见B(0,13)、G(-8,14)，向量BG=(-8,1)，长度√65；图像中可测量或利用网格确认；