平行四边形遇上圆？这道几何题藏着两个关键长度

建立平面直角坐标系。以E为原点(0,0)，AD在x轴上，因AD=12且E为中点，故A(-6,0)，D(6,0)；BE⊥AD且过E、O，故BE在y轴上；OE=8，O在BE上，但方向未定——因BE经过圆心O且E在AD上，而OA=OD=r=10，由A(-6,0)到O(0,y)距离为10 ⇒ (-6−0)² + (0−y)² = 100 ⇒ 36 + y² = 100 ⇒ y² = 64 ⇒ y = ±8。取O在AD上方，即O(0,8)（若取下方，对称结果一致，OB长度不变）；则BE为y轴，B在BE上，设B(0,b)，因BE是直线，B在y轴上。

利用平行四边形ABCD确定C坐标。已知A(-6,0)，B(0,b)，D(6,0)，由向量AB = B − A = (6,b)，平行四边形中AB = DC，AD = BC。更稳妥用“对角线互相平分”或向量加法：C = B + (D − A) = (0,b) + (6−(−6), 0−0) = (0,b) + (12,0) = (12,b)；或C = D + AB = (6,0) + (6,b) = (12,b)。故C(12,b)。

计算OC长度。O(0,8)，C(12,b) ⇒ OC² = (12−0)² + (b−8)² = 144 + (b−8)²。又BE = |b − 0| = |b|（因B(0,b)，E(0,0)），题设BE = OC ⇒ |b| = √[144 + (b−8)²]。两边平方：b² = 144 + (b−8)² = 144 + b² −16b + 64 ⇒ 0 = 208 −16b ⇒ b = 13。故B(0,13)，BE = 13，OC = 13。

求OB。O(0,8)，B(0,13) ⇒ OB = |13−8| = 5。

求BG。先求F：OC连线从O(0,8)到C(12,13)，参数方程：x = 12t, y = 8 + 5t (t∈[0,1]对应O→C)；⊙O方程：x² + (y−8)² = 100（半径10，圆心(0,8)）。代入：(12t)² + (5t)² = 100 ⇒ 144t² + 25t² = 169t² = 100 ⇒ t = 10/13（取正，因F在O与C之间，t>0）。故F(120/13, 8 + 50/13) = (120/13, 154/13)。

求直线FB：F(120/13, 154/13)，B(0,13) = (0,169/13)。斜率k = (169/13 − 154/13)/(0 − 120/13) = (15/13)/(−120/13) = −15/120 = −1/8。直线方程：y − 13 = (−1/8)(x − 0) ⇒ y = −x/8 + 13。

求G：FB延长线与⊙O第二交点（F已是一个交点，求另一交点G）。联立：x² + (y−8)² = 100 与 y = −x/8 + 13。代入：x² + (−x/8 + 5)² = 100 ⇒ x² + (x²/64 − 10x/8 + 25) = 100 ⇒ x² + x²/64 − (10x)/8 + 25 = 100 ⇒ (65/64)x² − (5x)/4 − 75 = 0。乘64：65x² − 80x − 4800 = 0。解得x₁,x₂，其中F的x坐标为120/13 约 100分之923，代入验证：65(120/13)² − 80(120/13) − 4800 = ?（不必算），用韦达定理：x₁ + x₂ = 80/65 = 16/13，x₁x₂ = −4800/65 = −960/13。已知x_F = 120/13，则x_G = (16/13) − (120/13) = −104/13 = −8。故G横坐标−8，代入y = −(−8)/8 + 13 = 1 + 13 = 14 ⇒ G(−8,14)。

求BG。B(0,13)，G(−8,14) ⇒ BG² = (−8−0)² + (14−13)² = 64 + 1 = 65 ⇒ BG = √65。

由前知OA = OD = 10，OE = 8，AE = 6，O(0,8)，E(0,0)，A(−6,0)，D(6,0)，B在y轴上，设B(0,b)，得b = 13，OB = 5（同解法一，此处略推导）。

观察△OBF与圆幂关系。点B在圆外（OB = 5 < r = 10？错！OB = 5，r = 10，故B在圆内？矛盾——O(0,8)，B(0,13)，距离5，r = 10，故B在圆内。但FB延长交圆于G，说明B在圆内，F、G为直线与圆的两交点，故B在线段FG内部。圆幂定理对圆内点B：BF·BG = |幂| = r² − OB² = 100 − 25 = 75。

需求BF。F在OC上，OC = 13，OF = r = 10（因F在⊙O上，O为圆心），故CF = OC − OF = 13 − 10 = 3。

在△OBC中，O(0,8)，B(0,13)，C(12,13)，故OB = 5，BC = 12（水平距离），OC = 13，恰为5-12-13直角三角形（OB⊥BC），∠OBC = 90°。

F在OC上，OF = 10，OC = 13，故OF:FC = 10:3。由相似或坐标知F分OC为10:3（从O起）。

求BF长度。在△OBC中，作F在OC上，用坐标或向量：向量OC = (12,5)，单位向量 = (12/13,5/13)，故F = O + 10(12/13,5/13) = (120/13, 8 + 50/13) = (120/13,154/13)，同前。B(0,13)，故BF² = (120/13)² + (154/13 − 169/13)² = (120/13)² + (−15/13)² = (14400 + 225)/169 = 14625/169 = 14625 ÷ 169。注意16986 = 14534，1692分之173约14625？直接算：14625 / 169 = (22565)/(13²) = 22565 / 169。但169 = 13²，65 = 513，故= 225513 / (1313) = 1125 / 13。故BF = √(1125/13) = (15√5)/√13 —— 复杂，不如用圆幂：BF·BG = 75，若得BF，可求BG。但此法不如解法一直接，故转回：由解法一得G(−8,14)，B(0,13)，BG = √65，验证：BF·BG = ? BF = √[(120/13)² + (15/13)²] = √(14400 + 225)/13 = √14625 /13 = √(22565)/13 = 15√65 /13，则BF·BG = (15√65 /13)√65 = 1565 /13 = 155 = 75，吻合。故BG = 75 / BF，但需先求BF，仍依赖坐标，故本法作为验证，核心仍用坐标。

画图——先作水平线段AD，长12，标中点E；过E作竖直线BE；在BE上取点O，使OE = 8（向上），以O为圆心、OA为半径画圆，因OA = √(6²+8²) = 10，故圆过A、D；标出圆与BE交点：B在圆外上方（因BE=OC>OA=10），实际B在O上方，OB=5，故B离O距离5，即B在O正上方5单位处（因BE为y轴）。

由平行四边形ABCD，AB∥DC，AD∥BC；从A(-6,0)到B(0,13)得向量AB=(6,13)，故C = D + AB = (6,0)+(6,13)=(12,13)，即C在D正右方12单位、上方13单位。

连接OC：O(0,8)到C(12,13)，此线穿过圆，在O与C之间交圆于F；因OC=13，OF=半径=10，故F距O为10，沿OC方向10/13处。

连接FB：F在OC上，B在y轴上，画直线FB；延长后再次交圆于G；观察图形，G应在左上方，因F在第一象限，B在y轴正半轴，直线FB斜率为负，向左上方延伸交圆于第二象限点G。

关键几何关系——△OEB为直角三角形，OE=8，OB=5，故EB=13；又OC=13，故△OEB≌△O?，但无直接全等；注意到∠OEB=90°，∠OBC=90°（因B(0,13), C(12,13), O(0,8)，BC水平，OB竖直），故OB⊥BC；又AD∥BC，BE⊥AD ⇒ BE⊥BC，即B处有多个直角。

求BG时，利用圆内点B的弦FG，由圆幂定理BF·BG = r²−OB² = 100−25 = 75；再由坐标或相似求BF，但图中可构造Rt△BHF（H为G在y轴投影），但最直观仍是坐标定位G：因直线FB斜率−1/8，过B(0,13)，当x=−8时y=14，且(−8)²+(14−8)²=64+36=100，在圆上，故G(−8,14)，BG=√[(−8)²+(1)²]=√65。